mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 10, 2010 11:03 pm**

Συναδελφοι

Θα ηθελα τα φωτα σας στην παρακατω ασκηση

$f:(0,+oo)\rightarrow R f(1)=1 f(x)F(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}, x>0$

Αν f συνεχης βρειτε την f. Οπου F μια παραγουσα της f

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 10, 2010 11:37 pm**

Θέτεις όπου $\displaystyle x: \frac{1}{x}$ .
Πολλαπλασιάζεις με $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$ και προσθέτεις κατά μέλη στην αρχική σχέση.
Βρίσκουμε ότι $\displaystyle F\left(\frac{1}{x} \right)=\frac{c}{F(x)}$ .
Έτσι, η αρχική σχέση δίνει $\displaystyle \frac{F^{\prime}(x)}{F(x)}=\frac{1}{cx}$ ...... $f(x)=1,\forall x>0$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 10, 2010 11:37 pm**

βάζεις όπου χ το 1/χ

παραγωγίζεις την αρχική,αντικάθιστάς από αυτή που προέκυψε και παίρνεις (αφού λες τα απαραίτητα για τη συνέχεια ,μη μηδενική,σταθερό πρόσημο κλπ)

$\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{f(x)}{F(x)}+\frac{1}{x}=0\longrightarrow (ln f(x)-ln F(x) +ln x)'=0\longrightarrow ln(\frac{x f(x)}{F(x)})=0}$ , $\longrightarrow \displaystyle \frac{x f(x)}{F(x)}=c,$ ,βρίσκεις c=1

...

έχεις $\displaystyle{\frac{f(x)}{F(x)}=\frac{1}{x}\longrightarrow ln F(x)=ln x+d\longrightarrow... \longrightarrow d=0}$ ... $\longrightarrow \displaystyle{f(x)=1,x>0}$

μόλις είδα ότι δώσαμε με τον Κώστα απάντηση ακριβώς στο ίδιο λεπτό

edit:11/05/2010-13:38

έχουμε

$\displaystyle{f(x)F(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}\neq 0}$

οι f,F συνεχείς μη-μηδενικές ,άρα διατηρούν σταθερό πρόσημο,θετικό αφού $\displaystyle{f(1)=1>0}$

$\displaystyle{f(x)=\frac{\frac{1}{x}}{F(\frac{1}{x})}}$ ,παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 10, 2010 11:52 pm**

Κάτι παρόμοιο είχε βάλει ο Θωμάς εδώ viewtopic.php?f=56&t=534&p=3019#p3019

mathematica.gr

Απορια σε ασκηση της Γ Λυκειου

Απορια σε ασκηση της Γ Λυκειου

Re: Απορια σε ασκηση της Γ Λυκειου

Re: Απορια σε ασκηση της Γ Λυκειου

Re: Απορια σε ασκηση της Γ Λυκειου