mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 14, 2021 12:51 pm**

: Ώρα εφαπτομένης 118.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Διπλώνοντας το ημικύκλιο κατά μήκος της χορδής

, το διπλωθέν τόξο τέμνει την οριζόντια ακτίνα

στο σημείο

και την κατακόρυφη στο σημείο

. Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

και την $\tan\theta$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 14, 2021 10:39 pm**

Η δίπλωση τόξου κύκλου «παράγει» νέο τόξο με άξονα συμμετρίας, ως προς το αρχικό, την κοινή χορδή δύο ίσων κύκλων.

Ας είναι

το κέντρο του ίσου αυτού κύκλου. Η μεσοκάθετος του

διέρχεται από το

, έστω δε

το μέσον του

.

α)Από το Π. Θ. στο $\vartriangle MKT$ έχω: $KM = \sqrt {K{T^2} - T{M^2}} = \sqrt {25 - 1} = 2\sqrt 6 \,\,\left( 1 \right)$
.

: Ώρα εφαπτομένης 118.png (18.71 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

.
$\widehat {{B_{}}} = \widehat {OKM} = \widehat {{\theta _{}}}$ ( οξείες με πλευρές κάθετες ) και έτσι , $\boxed{\tan \theta = \frac{{OM}}{{KM}} = \frac{4}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}}$ .

β)Αν η

τέμνει ακόμα τον κύκλο $\left( {K,5} \right)$ στο

και θέσω : $OP = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PD = 2m$ θα ισχύουν ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} y + m = KM = 2\sqrt 6 \hfill \\ y\left( {y + 2m} \right) = 3 \cdot 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{y = 2\sqrt 6 - 3}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 15, 2021 9:52 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 12:51 pm Ώρα εφαπτομένης 118.pngΔιπλώνοντας το ημικύκλιο κατά μήκος της χορδής , το διπλωθέν τόξο τέμνει την οριζόντια ακτίνα

στο σημείο και την κατακόρυφη στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος και την $\tan\theta$ .

α) Αν

είναι το κέντρο του τόξου $\overset\frown {SPB}$ και η

επανατέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο

τότε λόγω συμμετρίας

θα είναι KE=3, ES=2.

Οπότε αν

είναι το μέσο του

με Π.Θ θα είναι $ON= 2\sqrt 6}.$ Αλλά, πάλι με Π.Θ

$\displaystyle N{P^2} = K{P^2} - K{N^2} \Leftrightarrow NP = 3.$ Άρα, $\boxed{OP = ON - NP = 2\sqrt 6 - 3}$

: Ώρα εφαπτομένης 118.png (19.85 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές

β) $\displaystyle OT \cdot OB = O{K^2} - {R^2} \Leftrightarrow 15 = O{K^2} - 25 \Rightarrow OM = \frac{{OK}}{2} = \sqrt {10}$

Εξάλλου, $\displaystyle M{B^2} = 25 - O{M^2} = 15 \Leftrightarrow MB = \sqrt {15}$ και $\boxed{\tan \theta = \frac{{OM}}{{MB}} = \sqrt {\frac{2}{3}} }$

mathematica.gr

Ώρα εφαπτομένης 118

Ώρα εφαπτομένης 118

Re: Ώρα εφαπτομένης 118

Re: Ώρα εφαπτομένης 118