mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 02, 2022 12:12 am**

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{9^{2n} + 64.625^n}{9^n + 4.15^n +8.25^n}}$

είναι φυσικός, για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{n}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 02, 2022 1:18 am**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Κυρ Ιαν 02, 2022 12:12 am Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{9^{2n} + 64.625^n}{9^n + 4.15^n +8.25^n}}$

είναι φυσικός, για κάθε φυσικό αριθμό $\displaystyle{n}$ .

.
Από την ταυτότητα a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)

, ο αριθμητής με $a=3^n, \, b=2\cdot 5^n$ ισούται

$(3^n)^4+4(2\cdot 5^n)^4= \left [(3^n)^2-2\cdot 3^n\cdot (2\cdot 5^n) + 2(2\cdot 5^n)^2\right ]\left [(3^n)^2+2\cdot 3^n\cdot (2\cdot 5^n) + 2(2\cdot 5^n)^2\right ]=$

$= \left (9^n-4\cdot 15^n + 8 \cdot 25^n \right ) \left (9^n+4\cdot 15^n + 8 \cdot 25^n \right )$

Οπότε το κλάσμα ισούται με $9^n-4\cdot 15^n + 8 \cdot 25^n \in \mathbb N$ .

mathematica.gr

Είναι φυσικός

Είναι φυσικός

Re: Είναι φυσικός