mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 06, 2022 10:20 am**

: Το μεγαλύτερο εμβαδόν.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

Ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC$ οι ίσες πλευρές του έχουν σταθερό μήκος AB = AC = b

, ενώ η βάση του

είναι μεταβλητή.

Στο Περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και στο μικρό τόξο $\overset{\frown}{AB}$ θεωρούμε σημείο

με

(σταθερό). Αν $AD \cap BC \equiv E$ ,

να βρεθεί το μεγαλύτερο εμβαδόν του $\vartriangle DEC$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 06, 2022 1:12 pm**

Eustathia p. έγραψε: Πέμ Ιαν 06, 2022 10:20 am Το μεγαλύτερο εμβαδόν.png

Ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC$ οι ίσες πλευρές του έχουν σταθερό μήκος , ενώ η βάση του είναι μεταβλητή.

Στο Περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και στο μικρό τόξο $\overset{\frown}{AB}$ θεωρούμε σημείο με (σταθερό). Αν $AD \cap BC \equiv E$ ,

να βρεθεί το μεγαλύτερο εμβαδόν του $\vartriangle DEC$ .

Έστω

το μέσο του

και

η προβολή του

στην

Με νόμο συνημιτόνου στο ABE

έχω:

: Το μεγαλύτερο εμβαδόν.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

$\displaystyle A{E^2} = {b^2} + E{B^2} + 2bEB\cos \theta = {b^2} + E{B^2} + aEB \Leftrightarrow$ $\boxed{AE^2-EB^2=b^2+aEB}$ (1)

$\displaystyle ED \cdot EA = EB \cdot EC \Leftrightarrow (AE - h)AE = EB(EB + a) \Leftrightarrow A{E^2} - E{B^2} = hAE + aEB\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle AE = \frac{{{b^2}}}{h} \Leftrightarrow DE = \frac{{{b^2} - {h^2}}}{h}$ (σταθερό), άρα το ζητούμενο εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν γίνει μέγιστο το ύψος CF.