mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 07, 2022 12:05 pm**

: Περίμετρος εγγεγραμμένου.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

Σε σκαληνό τρίγωνο ABC

με πλευρές a,b,c

, να "εγγράψετε" το παραλληλόγραμμο KLMN

του οποίου

οι διαγώνιοι MK ,NL

, να είναι παράλληλες προς τις πλευρές AB , AC

και υπολογίστε την περίμετρό του .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 07, 2022 5:53 pm**

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 07, 2022 12:05 pm Περίμετρος εγγεγραμμένου.pngΣε σκαληνό τρίγωνο με πλευρές , να "εγγράψετε" το παραλληλόγραμμο του οποίου

οι διαγώνιοι , να είναι παράλληλες προς τις πλευρές και υπολογίστε την περίμετρό του .

Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε και

το μέσο της BC.

. Προφανώς, BK=NM=LC.

Εξάλλου, από

τις παραλληλίες είναι, $\displaystyle \frac{{BK}}{{BE}} = \frac{{BN}}{{NA}} = \frac{{BL}}{{BC}} = \frac{{BL}}{{2BE}} \Rightarrow BL = 2BK \Leftrightarrow BK = KL = LC = \frac{a}{3}.$

Οδηγούμαστε λοιπόν στην παρακάτω κατασκευή.

: Περίμετρος εγγεγραμμένου.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

Κατασκευή: Με τα σημεία K, L

τριχοτομούμε την πλευρά

και έστω

το μέσο της. Τα σημεία N, M

επί των

πλευρών AB, AC

αντίστοιχα ορίζονται από τις παράλληλες KN||AE||LM

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι $\boxed{P = 2\left( {\frac{a}{3} + \frac{{2AE}}{3}} \right) = \frac{2}{3}\left( {a + \sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} } \right)}$

Εναλλακτικά, η κατασκευή μπορεί να γίνει αν φέρουμε από το βαρύκεντρο παράλληλες στις

mathematica.gr

Περίμετρος εγγεγραμμένου

Περίμετρος εγγεγραμμένου

Re: Περίμετρος εγγεγραμμένου