mathematica.gr • Νέα τριχοτόμηση

Σελίδα 1 από 1

Νέα τριχοτόμηση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 15, 2022 7:47 pm

από KARKAR

: Νέα τριχοτόμηση.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Το

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC

ABC

και τα

D , E , F

είναι τα συμμετρικά του , ως προς

τα μέσα M , N , L

M , N , L

των πλευρών BC , BA , AB

BC , BA , AB

αντίστοιχα . Οι DE , DF

DE , DF

τέμνουν την

στα

T , S

.

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο FED

FED

, είναι ίσο με το ABC

ABC

... β) Δείξτε ότι τα S , T

S , T

τριχοτομούν την

.

Re: Νέα τριχοτόμηση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιαν 15, 2022 8:59 pm

από Mihalis_Lambrou

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 15, 2022 7:47 pm Νέα τριχοτόμηση.pngΤο είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου και τα είναι τα συμμετρικά του , ως προς

τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα . Οι τέμνουν την στα .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο , είναι ίσο με το ... β) Δείξτε ότι τα τριχοτομούν την .

α) Στα τρίγωνα $ABC,\, GEF$ τα $L,\,M$ είναι μέσα πλευρών. Άρα BC=2LN=FE

BC=2LN=FE

. Όμοια

AB=DE

και

AC=FD

. Η ισότητα τώρα των τριγώνων άμεση (τρεις πλευρές ίσες).

β) Είναι από παραλληλόγραμμα (διχοτομούμενες διαγώνιοι) EC=AG=GD

EC=AG=GD

και οι ίδιες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Άρα οι $GC,\, DE$ διχοτομούνται. Αν

το κοινό σημείο τους, τότε GM'=M'C

GM'=M'C

, οπότε στο τρίγωνο GDC

GDC

οι $DM',\, CM$ είναι διάμεσοι, και άρα

το βαρύκεντρο. Το ζητούμενο τώρα είναι άμεσο από την ιδιότητα $CT = \frac {2}{3}CM = \frac {1}{3}CB$ . Όμοια τα υπόλοιπα.