mathematica.gr

Καλό βράδυ! Το είναι ορθογώνιο με .

Ζητείται κατασκευή (με κανόνα και διαβήτη) τετραγώνου ισεμβαδικού με το ορθογώνιο

Ο πρώτος τρόπος κερδίζει την συμπάθεια..κάθε επόμενος τα εύσημα!

Σας ευχαριστώ..κυρίως τον πρώτο..Γιώργος.

Κατασκευή .

Ας υποθέσω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι . Θέτω .

Πάνω στο θεωρώ σημείο με .

Φέρνω τη μεσοκάθετο του και με κέντρο τυχαίο της σημείο γράφω κύκλο με (μεταβλητή) ακτίνα .
. .
Έστω εφαπτόμενο τμήμα προς αυτό τον κύκλο . Το τετράγωνο με πλευρά το είναι αυτό που θέλω.

Απόδειξη.

Παλιά, όταν η Γεωμετρία κατείχε την θέση που της άρμοζε, διδασκόταν στα σχολεία ο τετραγωνισμός του τριγώνου και του παραλληλογράμμου.
Πολλοί από εμάς (ως μαθητές τότε), είχαμε την φιλοδοξία να τετραγωνίσουμε και τον κύκλο (δεν "δεχόμασταν" να ήταν αδύνατον!!!) και είχαμε αφιερώσει ατέλειωτες ώρες, άσκοπα μεν, αλλά όχι χωρίς τα προφανή οφέλη. (Το ίδιο είχαμε πάθει και με την εικασία του Γκόλμπαχ)

Καλό βράδυ. Να ευχαριστήσω τον Δημήτρη για το σχολιασμό και βεβαίως τον Νίκο που κέρδισε ..εν ριπή, όλα τα μετάλλια!

Είχα σκοπό να δώσω άλλη κατασκευή που αναβάλλεται, για χάρη (*) της ακόλουθης: Στο σχήμα δίνονται τα τμήματα και και θέλουμε να κατασκευάσουμε το τμήμα
ώστε να ισχύει , δηλ τον γεωμετρικό μέσο.

Θεωρώ γωνία .Κατασκευάζω το τόξο που βλέπει την χορδή υπό γωνία . Η τέμνει το τόξο στα .

Τότε αφού και ως εφαπτόμενα στους κύκλους και αντίστοιχα.

(*) Ανατρέχοντας αναρτήσεις του Ευθύμη Αλεξίου , το θέμα ΤΟΥΤΟ
όπου ο Ευθύμης πρόσφερε λύση, μου έδωσε την ιδέα για την προβολή της ως άνω κατασκευής.

Είναι γνωστή βεβαίως... θα ήθελα πάντως να την αφιερώσω στην μνήμη του ΕΥΘΥΜΗ..Με συγκίνηση, Γιώργος.

Χαιρετώ.Ας δώσω και την πρώτη κατασκευή που είχα κατά νου. Το ώστε . Ο κύκλος τέμνει την μεσοκάθετο του στο . Το τετράγωνο είναι το ζητούμενο.

Πράγματι: Τα ισοσκελή τρίγωνα και με τη γωνία βάσης κοινή είναι όμοια άρα .

Έτσι . Φιλικά, Γιώργος.