mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 21, 2022 9:42 am**

: Διάμεσος διέρχεται από το μέσο.png (7.98 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Σε τρίγωνο ABC

, με :

, το ύψος

τέμνει την διχοτόμο

στο σημείο

. Εξετάστε αν η διάμεσος

, διέρχεται και από το μέσο

του τμήματος

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 21, 2022 11:03 am**

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 21, 2022 9:42 am Διάμεσος διέρχεται από το μέσο.pngΣε τρίγωνο , με : , το ύψος τέμνει την διχοτόμο

στο σημείο . Εξετάστε αν η διάμεσος , διέρχεται και από το μέσο του τμήματος .

: Διάμεσος από το μέσο.png (12.18 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές

Με τον τύπο του Ήρωνα $\displaystyle (ABC) = 12\sqrt 5 ,$ οπότε βρίσκω το ύψος $AD=3\sqrt 5$ και με Π.Θ, BD=2, DC=6.

Με θεώρημα διχοτόμου, $\displaystyle \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{9}{6} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{SD}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow SD = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}$

Τέλος με θεώρημα Μενελάου στο $\displaystyle ADC$ και διατέμνουσα $\displaystyle \overline {BTM},$ είναι $\displaystyle \frac{{AT}}{{TD}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{TD}} = 5 \Leftrightarrow TD = \frac{{3\sqrt 5 }}{5} = \frac{{SD}}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 21, 2022 9:47 pm**

Επειδή $A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2BC \cdot BD \Rightarrow BD = 2$ .

Οπότε το ύψος $\boxed{AD = \sqrt {{7^2} - {2^2}} = 3\sqrt 5 = 2a}$ . Θεωρώ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το $D\left( {0,0} \right)$ και την

κατακόρυφο άξονα .
.

: Διάμεσος διέρχεται απο το μέσο.png (23.08 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

.
Έστω

το συμμετρικό του

ως προς τη διχοτόμο

και άρα $J\left( { - 3,0} \right)$ .

$\overrightarrow {JA} = \left( {3,2a} \right)$ , άρα η $CE:\,\,y = \dfrac{{ - 3}}{{2a}}\left( {x - 6} \right)$ που για x = 0

προκύπτει : $S\left( {0,\dfrac{9}{a}} \right)$ .

$\overrightarrow {BM} = \left( {5,a} \right)$ . Άρα $BM:\,\,y = \dfrac{a}{5}\left( {x + 2} \right)$ που για x = 0

,προκύπτει : $T\left( {0,\dfrac{{2a}}{5}} \right)$ .

Αρκεί $DS = 2DT \Rightarrow \dfrac{9}{a} = \dfrac{{4a}}{5} \Leftrightarrow 2a = 3\sqrt 5$ που ισχύει.

mathematica.gr

Διάμεσος διέρχεται από το μέσο

Διάμεσος διέρχεται από το μέσο

Re: Διάμεσος διέρχεται από το μέσο

Re: Διάμεσος διέρχεται από το μέσο