mathematica.gr • ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ - ΥΠΑΡΞΙΑΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ

Σελίδα 1 από 1

ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ - ΥΠΑΡΞΙΑΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 28, 2022 2:10 pm

από Πυθαγόρεια Τριάδα

Έστω δύο συναρτήσεις $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

Η είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ .

Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $g(x) \geq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$

$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2 -1} = \frac{1}{2}$

$\forall x \in \mathbb{R} (f^2(x) + g^2(x) = 1)$

Να απαντηθούν τα ακόλουθα:
1)Να δείξετε ότι f(1)=0, g(1) = 1, f'(1) = 1, g'(1) = 0

f(1)=0, g(1) = 1, f'(1) = 1, g'(1) = 0

.
2)Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C_f

C_f

και των

C_g

σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με τον άξονα y'y

y'y

του οποίου και να βρείτε το εμβαδόν.
3) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_{0} \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε

$({f}'(x_{0}) - 1){g}'(-x_{0}) = (x_{0}^3 + 1)f(x_{0}) - x_{0}^3$

4)Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_{0}\in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε

$e^{f(x_{0})} + e^{{g}'(x_{0})} + x_{0}{f}'(x_{0})e^{f(x_{0})} + x_{0}{g}''(x_{0})e^{{g}'(x_{0})} = 4x_{0}$

Re: ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ - ΥΠΑΡΞΙΑΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 28, 2022 2:55 pm

από ma128

Για το πρώτο ερώτημα, απο το δοσμένο όριο , προκύπτει: $limf(x)=lim\frac{x^{2}-1}{2}$
Και επειδή η

είναι συνεχής στο 1, ως παραγωγίσιμη , αυτό σημαίνει ότι: f(1)=0

f(1)=0

Έπειτα απο τη σχέση μεταξύ

και

αν θέσουμε x=1

x=1

προκύπτει $(g(1))^{2}=1$
Και επειδή $g(x)\geq 0$ για κάθε

, έπεται ότι g(1)=1

g(1)=1

.
Απο το δοσμένο όριο και πάλι διαιρώντας με x-1

x-1

και τα δύο μέλη, σχηματίζεται το {f}'(1)

{f}'(1)

και προκύπτει {f}'(1)=1

{f}'(1)=1

Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση μεταξύ

και

, αφού και οι δύο είναι παραγωγίσιμες θα προκύψει σχέση μεταξύ των παραγώγων των δύο συναρτήσεων και θέτοντας x=1

x=1

θα προκύψει {g}'(1)=0

{g}'(1)=0

Για το δεύτερο ερώτημα , πράγματι οι εφαπτομένες των

και g στο x_0=1 σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο εμβαδού

με τον άξονα των

. Δεν ξέρω εδώ αν πρέπει να γίνω πιο αναλυτικός, νομίζω πως όχι, αν κάνω λάθος συγχωρέστε με.

Για το τρίτο ερώτημα, θεωρώ την συνάρτηση

με τύπο $h(x)=({f}'(x)-1){g}'(-x)-(x^{3}+1)f(x)+x^{3}$
Παρατηρώ ότι h(1)=1

h(1)=1

και

h(-1)=-1

επομένως απο Θεώρημα Μπολζάνο η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση.

Για το τέταρτο ερώτημα, θεωρώ τη συνάρτηση

με τύπο $k(x)=xe^{f(x)}+xe^{{g}'(x)}-2x^{2}$
Παρατηρώ ότι k(0)=k(1)=0

k(0)=k(1)=0

επομένως λόγω του Θεωρήματος Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον x_0

x_0

τέτοιο ώστε ${k}'(x_0)=0$ όπου είναι και το ζητούμενο.