Παραμετρική εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 08, 2022 8:12 pm
Για κάθε τιμή της παραμέτρου 
να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης
.
να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης.Ισοδύναμα:Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Φεβ 08, 2022 8:12 pm Για κάθε τιμή της παραμέτρου
![\displaystyle{
\begin{aligned}
\max\{ 1 - 2x, x + 4 \} = \min\{ 4x + 7, -2 + x \} + 3ax - 3
&\Leftrightarrow 5 - x + 3|x + 1| = 5x + 5 - 3|x + 3| + 6ax - 6
\\[0.1in]
&\Leftrightarrow |x + 1| + |x + 3|= 2(a + 1)x - 2 \quad (1)
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fb0f17afcafd98857f1b0e2ae39b43ee.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
\max\{ 1 - 2x, x + 4 \} = \min\{ 4x + 7, -2 + x \} + 3ax - 3
&\Leftrightarrow 5 - x + 3|x + 1| = 5x + 5 - 3|x + 3| + 6ax - 6
\\[0.1in]
&\Leftrightarrow |x + 1| + |x + 3|= 2(a + 1)x - 2 \quad (1)
\end{aligned}
}")
Διακρίνω περιπτώσεις:
-
. Τότε:
Συνεπώς, στο διάστημα
η 
έχει μία λύση όταν:
![\displaystyle{
\left\{
\begin{aligned}
&a \ne -2 \\[0.05in]
&-\dfrac{1}{a + 2} < -3 \\[0.05in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{a \in \biggl( -2, -\dfrac{5}{3} \biggr)}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/46cdb345906f968e12510aaaa9ed9983.png "\displaystyle{
\left\{
\begin{aligned}
&a \ne -2 \\[0.05in]
&-\dfrac{1}{a + 2} < -3 \\[0.05in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{a \in \biggl( -2, -\dfrac{5}{3} \biggr)}
}")
και καμία σε διαφορετική περίπτωση.
-
. Τότε:
Συνεπώς, στο διάστημα![[-3, -1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2bbd6f5f497e87bd684fc3e9b5b0435f.png "[-3, -1]")
η έχει μία λύση όταν:
![\displaystyle{
\left\{
\begin{aligned}
&a \ne -1 \\[0.05in]
&\dfrac{2}{a + 1} \ge -3 \\[0.05in]
&\dfrac{2}{a + 1} \le -1 \\[0.05in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow \ldots
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
&a \in [-3, 1) \\[0.05in]
&a \in \biggl(-\infty, -\dfrac{5}{3} \biggr] \cup (-1, +\infty) \\[0.05in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow \boxed{a \in \biggl[-3, -\dfrac{5}{3} \biggr]}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/80802a7566dd29fe9b0f15318865a531.png "\displaystyle{
\left\{
\begin{aligned}
&a \ne -1 \\[0.05in]
&\dfrac{2}{a + 1} \ge -3 \\[0.05in]
&\dfrac{2}{a + 1} \le -1 \\[0.05in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow \ldots
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
&a \in [-3, 1) \\[0.05in]
&a \in \biggl(-\infty, -\dfrac{5}{3} \biggr] \cup (-1, +\infty) \\[0.05in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow \boxed{a \in \biggl[-3, -\dfrac{5}{3} \biggr]}
}")
και καμία σε διαφορετική περίπτωση.
. Τότε:
Συνεπώς, στο διάστημα
η έχει μία λύση όταν:
![\displaystyle{
\left\{
\begin{aligned}
&a \ne 0 \\[0.05in]
&\dfrac{3}{a} > -1 \\[0.05in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{a \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9bf7399fe2ffdfbb18be6ef8c0a9a5c0.png "\displaystyle{
\left\{
\begin{aligned}
&a \ne 0 \\[0.05in]
&\dfrac{3}{a} > -1 \\[0.05in]
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{a \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)}
}")
και καμία σε διαφορετική περίπτωση.
Συνοψίζοντας, η
έχει:- δύο ακριβώς λύσεις αν
.
- μία ακριβώς λύση αν
![a \in (-\infty, -2] \cup (0, +\infty) \cup \biggl\{ -\dfrac{5}{3} \biggr\}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b689cf0905babd0da295dc8193b85212.png "a \in (-\infty, -2] \cup (0, +\infty) \cup \biggl\{ -\dfrac{5}{3} \biggr\}")
. - καμία λύση αν
![a \in \biggl( -\dfrac{5}{3}, 0 \biggr]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9090bf52404a44c07ef2a4212d694102.png "a \in \biggl( -\dfrac{5}{3}, 0 \biggr]")
.