mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 12, 2022 8:31 am**

Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο

, για τον οποίο ισχύει : $n^n< (n-1)^{n+1}$ .

Για : x>n

, δείξτε ότι : $(x+1)^{x-1}<x^x<(x-1)^{x+1}$

Υπάρχει περίπτωση οι : $(x+1)^{x-1} , x^x , (x-1)^{x+1}$ , να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ;

Τρομάζω να σας ρωτήσω , αν μπορείτε να αντιμετωπίσετε το ίδιο ερώτημα για γεωμετρική πρόοδο

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 14, 2022 1:38 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 12, 2022 8:31 am Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο , για τον οποίο ισχύει : $n^n< (n-1)^{n+1}$ .

Για : , δείξτε ότι : $(x+1)^{x-1}<x^x<(x-1)^{x+1}$

Υπάρχει περίπτωση οι : $(x+1)^{x-1} , x^x , (x-1)^{x+1}$ , να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ;

Τρομάζω να σας ρωτήσω , αν μπορείτε να αντιμετωπίσετε το ίδιο ερώτημα για γεωμετρική πρόοδο .

Καλησπέρα...

1ο) Από τη σχέση

$\displaystyle{n^n<(n-1)^{n+1} \ \ (1)}$

για $\displaystyle{n>1}$ προκύπτει:

$\displaystyle{(\frac{n}{n-1})^n<n-1 \Rightarrow (1+\frac{1}{n-1})^n<n-1 \ \ (2)}$

Όμως είναι:

$\displaystyle{(1+\frac{1}{n-1})^n \geq 1+\frac{1}{n-1} \ \ (3)}$

Από τις (2) και (3) είναι:

$\displaystyle{1+\frac{n}{n-1}<n-1 \Rightarrow n^2-4n+2>0 \ \ (4) }$

Αν τώρα μελετήσουμε το τριώνυμο $\displaystyle{f(x)=x^2-4x+2 \ \ (5)}$ το οποίο έχει ως ρίζες τις

$\displaystyle{x_1=2-\sqrt{2}, \ \ x_2=2+\sqrt{2} \ \ (6) }$

και γράφημα το ακόλουθο:

: Χρήση λογισμικών 1.png (9.38 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Οι λύσεις λοιπόν της (4) είιναι οι αριθμοί

$\displaystyle{4,5,6,... \ \ (7)}$

Από την ακολουθία αυτή διαπιστώνουμε ότι ο ελάχιστος ακέραιος που ζητάμε είναι ο αριθμός $\displaystyle{n_o=5}$

2ο) Για την ανισότητα

$\displaystyle{(x+1)^{x-1}<x^x<(x-1)^{x+1} , x>5}$

Παραθέτω μια εικόνα που μας "πείθει για την αλήθεια της". Δηλαδή:

: Χρήση λογισμικών 2.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Τα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ είναι εκείνα που τέμνουν αντίστοιχα τα τρία γραφήματα των τριών συναρτήσεων

της ζητούμενης σχέσης από την $\displaystyle{x=5}$ .

3ο) Για να είναι οι αριθμοί $\displaystyle{(x+1)^{x-1}, x^x, (x-1)^{x+1}}$ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ή γεωμετρικής
προόδου το λογισμικό μου δίνει πραγματικό αριθμό για την αριθμητική και μιγαδικό αριθμό για την γεωμετρική.
Αυτά φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

: Χρήση λογισμικών 3.png (7.82 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Έγινε αρκετή χρήση λογισμικών....

Καληνύχτα....

Κώστας Δόρτσιος

mathematica.gr

Λογική χρήση λογισμικού

Λογική χρήση λογισμικού

Re: Λογική χρήση λογισμικού