mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 22, 2022 8:41 pm**

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις
$g,h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

Η δύο φορές παραγωγίσημη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
Ικανοποιεί
1) f(0)=0

2) $f(x)\geq 0$ για $x\in (-1,1)$
3) f''(x)+g(x)f'(x)+h(x)f(x)=0

για $x\in \mathbb{R}$

Να δειχθεί ότι f(x)=0

για $x\in \mathbb{R}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 24, 2022 11:20 am**

Όσο ψάχνεις μαθαίνεις!

$f(x)\geq 0=f(0)$ για $x\in (-1,1)$ και

παραγωγίσιμη άρα $\overset{Fermat}{\Rightarrow} f'(0)=0$

Έχουμε δηλαδή την διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

f''(x)+g(x)f'(x)+h(x)f(x)=0

για $x\in \mathbb{R}$

με αρχικές συνθήκες f(0)=f'(0)=0

παρατηρούμε ότι η συνάρτηση $f(x)=0,~x\in\mathbb{R}$ ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες και επαληθεύει την Δ.Ε. άρα από τα θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ευχαριστώ Σταύρο!

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 24, 2022 1:22 pm**

Ας γράψω και την απόδειξη για το μονοσήμαντο για γραμμικές δεύτερης τάξης.
Η ίδια είναι και για μεγαλύτερης τάξης.
Χρειάζονται μόνο γνώσεις Λυκειου.

Θεωρούμε την συνάρτηση r(x)=(f'(x))^2+ (f(x))^2