mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 06, 2022 10:21 pm**

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{m , n}$ που είναι λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle{n^2 -5n+2m =(10-3n)\sqrt{m}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 07, 2022 1:18 am**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Κυρ Μαρ 06, 2022 10:21 pm Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{m , n}$ που είναι λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle{n^2 -5n+2m =(10-3n)\sqrt{m}}$

Αφού $10-3n \ne 0$ , σημαίνει ότι $\sqrt m$ ρητός (φαίνεται αμέσως αν διαιρέσω με το 10-3n

). Άρα

για κάποιο φυσικό

.

H εξίσωση τότε γίνεται n^2 -5n+2M^2=(10-3n) M

, ισοδύναμα n^2+(3M-5)n +2M(M-5)=0

ή αλλιώς

. Άρα

ή

.

Με άλλα λόγια οι ρίζες είναι $(n,\,m)=(-2M,M^2)$ και οι $(n, \, m)=(5-M, M^2)$ . Από αυτές κρατάμε μόνο τα ζεύγη φυσικών, που είναι τα $(0,0),\, (5,0), \, (4,1),\, (3, 4),\, (2,\, 9),\, (1,\,16),\, (0, \, 25)$ .

mathematica.gr

Ακέραιες λύσεις

Ακέραιες λύσεις

Re: Ακέραιες λύσεις