mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 07, 2022 8:29 am**

Εμπνεόμενος από την αρχική δημοσίευση εδώ, προτείνω τα εξής χαριτωμένα:

(Ι) ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ -- αν $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ τότε δεν υπάρχει η f''(x_0)

.

(II) ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ -- αν $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f''(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f''(x)$ τότε δεν υπάρχει η f'(x_0)

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 07, 2022 11:49 am**

gbaloglou έγραψε: Πέμ Απρ 07, 2022 8:29 am Εμπνεόμενος από την αρχική δημοσίευση εδώ, προτείνω τα εξής χαριτωμένα:

(Ι) ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ -- αν $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ τότε δεν υπάρχει η .

(II) ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ -- αν $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f''(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f''(x)$ τότε δεν υπάρχει η .

Το πρώτο είναι Σωστό, Αν $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)}$ τότε δεν υπάρχει το $\displaystyle{ f^{\prime} (x_0)}$ άρα και το $\displaystyle{ f^{\prime}^{\prime} (x_0)}$ .
Διαφορετικά, με τη χρήση του De 'l Hospital, θα έπρεπε: $\displaystyle{ f^{\prime} (x_0)=\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0^+}{f^{\prime}(x)}}$ και $\displaystyle{\color{red} f^{\prime} (x_0)=\lim_{x\to x_0^-}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0^-}{f^{\prime}(x)}}$ το οποίο είναι άτοπο.

Το δεύτερο για τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , για την οποία $\displaystyle{ f^{\prime}(x)=|x|}$ και $\displaystyle{ x_0=0}$ , είναι Λάθος.

Έκανα μια διόρθωση στην απάντησή μου,,, παίρνοντας τα πλευρικά όρια της $\color{red}f^{\prime}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 08, 2022 8:53 am**

abgd έγραψε: Πέμ Απρ 07, 2022 11:49 am
gbaloglou έγραψε: Πέμ Απρ 07, 2022 8:29 am Εμπνεόμενος από την αρχική δημοσίευση εδώ, προτείνω τα εξής χαριτωμένα:

(Ι) ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ -- αν $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ τότε δεν υπάρχει η .

(II) ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ -- αν $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f''(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f''(x)$ τότε δεν υπάρχει η .
Το πρώτο είναι Σωστό, Αν $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)}$ τότε δεν υπάρχει το $\displaystyle{ f^{\prime} (x_0)}$ άρα και το $\displaystyle{ f^{\prime}^{\prime} (x_0)}$ .
Διαφορετικά, με τη χρήση του De 'l Hospital, θα έπρεπε: $\displaystyle{ f^{\prime} (x_0)=\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}{f^{\prime}(x)}}$ , το οποίο είναι άτοπο.

Το δεύτερο για τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , για την οποία $\displaystyle{ f^{\prime}(x)=|x|}$ και $\displaystyle{ x_0=0}$ , είναι Λάθος.

Για το πρώτο ερώτημα θα προτιμούσα κάτι ασφαλέστερο και, νομίζω, σχολικότερο: λόγω της $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ δεν μπορούν να ισούνται -- ούτε καν να υπάρχουν αμφότερα ως πεπερασμένοι αριθμοί -- τα όρια $\lim_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}$ και $\lim_{x\rightarrow x_0^+}\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}$ (καθώς δεν μπορούν αμφότερα τα $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)$ και $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ να ισούνται προς f'(x_0)

), συνεπώς δεν μπορεί να υπάρχει η f''(x_0)

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 08, 2022 4:57 pm**

Νομίζω Γιώργο για το πρώτο επίεσης σχολική αντιμετώπιση θα ήταν

Αν δεν ορίζεται η f'(x_0)

, δηλαδή δεν ορίζεται στο σημείο x_0

τότε δεν ορίζεται και η f''(x_0)

Αν πάλι ορίζεται τότε δεν είναι συνεχής στο σημείο αυτό άρα δεν παραγωγίζεται.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 08, 2022 5:17 pm**

Christos.N έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 4:57 pm Νομίζω Γιώργο για το πρώτο επίεσης σχολική αντιμετώπιση θα ήταν

Αν δεν ορίζεται η , δηλαδή δεν ορίζεται στο σημείο τότε δεν ορίζεται και η

Αν πάλι ορίζεται τότε δεν είναι συνεχής στο σημείο αυτό άρα δεν παραγωγίζεται.

Χρήστο συμφωνώ, και νομίζω σ' αυτό το πνεύμα ήταν και μια απάντηση που εμφανίστηκε σήμερα το πρωί αλλά αποσύρθηκε. (Σ' αυτήν όμως -- όπως και στην δική μου προσέγγιση -- δεν εξετάζονταν χωριστά η περίπτωση μη ύπαρξης της f'(x_0)

, που πολύ σωστά επισημαίνεις!)

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 08, 2022 9:42 pm**

Christos.N έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 4:57 pm Νομίζω Γιώργο για το πρώτο επίεσης σχολική αντιμετώπιση θα ήταν

Αν δεν ορίζεται η , δηλαδή δεν ορίζεται στο σημείο τότε δεν ορίζεται και η

Αν πάλι ορίζεται τότε δεν είναι συνεχής στο σημείο αυτό άρα δεν παραγωγίζεται.

Χρήστο, δεν μπορεί να ορίζεται η παράγωγος της

στο

και συγχρόνως η $f^{\prime}$ να μην είναι συνεχής στο x_0

.
Αναφέρομαι βέβαια για συνάρτηση παραγωγίσιμη κοντά στο x_0

.
Αυτό αποδεικνύω στην απάντησή μου και δεν βλέπω το λόγο να μην είναι ασφαλές και εντός σχολικής ύλης.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 08, 2022 10:44 pm**

Σωστά , αλλά δεν είναι εντός της σχολικής ύλης .

Δεν υπονόησα ότι έχει γραφτεί κάτι λάθος σε καμία περίπτωση .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 08, 2022 11:38 pm**

abgd έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 9:42 pm
Christos.N έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 4:57 pm Νομίζω Γιώργο για το πρώτο επίεσης σχολική αντιμετώπιση θα ήταν

Αν δεν ορίζεται η , δηλαδή δεν ορίζεται στο σημείο τότε δεν ορίζεται και η

Αν πάλι ορίζεται τότε δεν είναι συνεχής στο σημείο αυτό άρα δεν παραγωγίζεται.
Χρήστο, δεν μπορεί να ορίζεται η παράγωγος της στο και συγχρόνως η $f^{\prime}$ να μην είναι συνεχής στο .
Αναφέρομαι βέβαια για συνάρτηση παραγωγίσιμη κοντά στο .
Αυτό αποδεικνύω στην απάντησή μου και δεν βλέπω το λόγο να μην είναι ασφαλές και εντός σχολικής ύλης.

Και όμως υπάρχει το κλασικό αντιπαράδειγμα $f(x)=x^2\eta \mu (1/x)$ , f(0)=0

,

.

[Πιστεύω ότι το παραπάνω δεν είναι σχολικό -- θα μπορούσε ίσως, αλλά καλύτερα μάλλον να μην διδάσκεται (κατά την ταπεινή μου γνώμη).]

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2022 9:12 am**

gbaloglou έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 11:38 pm
abgd έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 9:42 pm
Christos.N έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 4:57 pm Νομίζω Γιώργο για το πρώτο επίεσης σχολική αντιμετώπιση θα ήταν

Αν δεν ορίζεται η , δηλαδή δεν ορίζεται στο σημείο τότε δεν ορίζεται και η

Αν πάλι ορίζεται τότε δεν είναι συνεχής στο σημείο αυτό άρα δεν παραγωγίζεται.
Χρήστο, δεν μπορεί να ορίζεται η παράγωγος της στο και συγχρόνως η $f^{\prime}$ να μην είναι συνεχής στο .
Αναφέρομαι βέβαια για συνάρτηση παραγωγίσιμη κοντά στο .
Αυτό αποδεικνύω στην απάντησή μου και δεν βλέπω το λόγο να μην είναι ασφαλές και εντός σχολικής ύλης.
Και όμως υπάρχει το κλασικό αντιπαράδειγμα $f(x)=x^2\eta \mu (1/x)$ , , .

[Πιστεύω ότι το παραπάνω δεν είναι σχολικό -- θα μπορούσε ίσως, αλλά καλύτερα μάλλον να μην διδάσκεται (κατά την ταπεινή μου γνώμη).]

Σωστά. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει το όριο της $f^{\prime}$ , ούτε τα πλευρικά της στο

.
Η σωστή διατύπωση της συνέχειας της $f^{\prime}$ σε κάποιο x_0

είναι η εξής:
"Έστω συνάρτηση

παραγωγίσιμη κοντά στο x_0

και στο

.
Αν τα πλευρικά όρια της $f^{\prime}$ υπάρχουν τότε η $f^{\prime}$ είναι συνεχής στο x_0

".
Όσο για το αν είναι σχολικό, να θυμίσω ότι ήταν ερώτηση Σωστού Λάθους στις Πανελλήνιες - δεν θυμάμαι τη χρονιά:
"Αν η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο x_0

τότε η $f^{\prime}$ είναι συνεχής στο x_0

"
Το αντιπαράδειγμα $f(x)=x^2\eta \mu (1/x)$ , f(0)=0

,

είναι από τα λίγα που μπορούμε να έχουμε.... Από τα πιο δύσκολα Σωστό Λάθος που έχουμε στις Πανελλήνιες.

Έχω διορθώσει την αρχική μου απάντηση.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 20, 2022 10:15 pm**

abgd έγραψε: Σάβ Απρ 09, 2022 9:12 am
gbaloglou έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 11:38 pm
abgd έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 9:42 pm
Christos.N έγραψε: Παρ Απρ 08, 2022 4:57 pm Νομίζω Γιώργο για το πρώτο επίεσης σχολική αντιμετώπιση θα ήταν

Αν δεν ορίζεται η , δηλαδή δεν ορίζεται στο σημείο τότε δεν ορίζεται και η

Αν πάλι ορίζεται τότε δεν είναι συνεχής στο σημείο αυτό άρα δεν παραγωγίζεται.
Χρήστο, δεν μπορεί να ορίζεται η παράγωγος της στο και συγχρόνως η $f^{\prime}$ να μην είναι συνεχής στο .
Αναφέρομαι βέβαια για συνάρτηση παραγωγίσιμη κοντά στο .
Αυτό αποδεικνύω στην απάντησή μου και δεν βλέπω το λόγο να μην είναι ασφαλές και εντός σχολικής ύλης.
Και όμως υπάρχει το κλασικό αντιπαράδειγμα $f(x)=x^2\eta \mu (1/x)$ , , .

[Πιστεύω ότι το παραπάνω δεν είναι σχολικό -- θα μπορούσε ίσως, αλλά καλύτερα μάλλον να μην διδάσκεται (κατά την ταπεινή μου γνώμη).]
Σωστά. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει το όριο της $f^{\prime}$ , ούτε τα πλευρικά της στο .
Η σωστή διατύπωση της συνέχειας της $f^{\prime}$ σε κάποιο είναι η εξής:
"Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη κοντά στο και στο .
Αν τα πλευρικά όρια της $f^{\prime}$ υπάρχουν τότε η $f^{\prime}$ είναι συνεχής στο ".
Όσο για το αν είναι σχολικό, να θυμίσω ότι ήταν ερώτηση Σωστού Λάθους στις Πανελλήνιες - δεν θυμάμαι τη χρονιά:
"Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο τότε η $f^{\prime}$ είναι συνεχής στο "
Το αντιπαράδειγμα $f(x)=x^2\eta \mu (1/x)$ , , είναι από τα λίγα που μπορούμε να έχουμε.... Από τα πιο δύσκολα Σωστό Λάθος που έχουμε στις Πανελλήνιες.

Έχω διορθώσει την αρχική μου απάντηση.

Δεκτή η (διόρθωση στην) αρχική απάντηση, όπως γράφω και εδώ, και τελικά έχουμε για το (Ι): αν $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f'(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^+}f'(x)$ τότε δεν υπάρχει η f'(x_0)

, άρα ούτε και η f''(x_0)

.

[Όσον αφορά το προ αρκετών ετών Σωστό Λάθος ... φίλος μαθηματικός με πληροφορεί ότι ούτε τα φροντιστήρια ούτε η επιτροπή εξετάσεων μπήκαν στον κόπο να δικαιολογήσουν την απάντηση! (Μαθήτρια του που απάντησε σωστά "Λάθος" του είπε ότι ... (Ι) είχε διαβάσει πολύ καλά το σχολικό βιβλίο και δεν θυμόταν να είχε διαβάσει κάτι τέτοιο και (ΙΙ) αν ήταν Σωστό θα έπρεπε λογικά να υπάρχει στο σχολικό βιβλίο

)]

mathematica.gr

Σωστό - Λάθος [2]

Σωστό - Λάθος [2]

Re: Σωστό - Λάθος [2]

Re: Σωστό - Λάθος [2]

Re: Σωστό - Λάθος [2]

Re: Σωστό - Λάθος [2]

Re: Σωστό - Λάθος [2]

Re: Σωστό - Λάθος [2]

Re: Σωστό - Λάθος [2]

Re: Σωστό - Λάθος [2]

Re: Σωστό - Λάθος [2]