mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 27, 2022 12:09 pm**

: σταθερό τμήμα.png (10.33 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Οι πλευρές AB , AC

, τριγώνου ABC

έχουν σταθερά μήκη , ενώ η βάση

μεταβάλλεται .

Η κάθετη από την κορυφή

προς την διχοτόμο

, τέμνει την διάμεσο

στο σημείο

.

Δείξτε ότι το τμήμα

έχει σταθερό μήκος .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 27, 2022 12:40 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 27, 2022 12:09 pm σταθερό τμήμα.pngΟι πλευρές , τριγώνου έχουν σταθερά μήκη , ενώ η βάση μεταβάλλεται .

Η κάθετη από την κορυφή προς την διχοτόμο , τέμνει την διάμεσο στο σημείο .

Δείξτε ότι το τμήμα έχει σταθερό μήκος .

Χωρίς βλάβη θεωρώ ότι b>c.

Η

τέμνει τις AD, AC

στα

αντίστοιχα. Ως γνωστόν, είναι EM||AC.

: Σταθερό τμήμα.Κ.png (12.05 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

$\displaystyle \frac{{MS}}{{SA}} = \frac{{EM}}{{AN}} = \dfrac{{\dfrac{{b - c}}{2}}}{c} = \frac{{b - c}}{{2c}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{MS}}{{MA}} = \frac{{b - c}}{{b + c}}}$ (1)

$\displaystyle \frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{MB - BD}}{{MB}} = 1 - \dfrac{{\dfrac{{ac}}{{b + c}}}}{{\dfrac{a}{2}}} = 1 - \dfrac{{2c}}{{b + c}} = \frac{{b - c}}{{b + c}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} SD||AB$

Άρα, $\displaystyle \frac{{SD}}{c} = \frac{{b - c}}{{b + c}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ SD = \frac{{c(b - c)}}{{b + c}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 27, 2022 8:13 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 27, 2022 12:09 pm σταθερό τμήμα.pngΟι πλευρές , τριγώνου έχουν σταθερά μήκη , ενώ η βάση μεταβάλλεται .

Η κάθετη από την κορυφή προς την διχοτόμο , τέμνει την διάμεσο στο σημείο .

Δείξτε ότι το τμήμα έχει σταθερό μήκος .

Υποθέτω ,

. Έστω

το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$ , επί πλέον δε ας είναι

το σημείο τομής των $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ .

Επειδή δε τα $O\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,M$ μέσα των $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ θα είναι : $d = OM// = \dfrac{{EC}}{2} = \dfrac{{b - c}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

: Σταθερό τμήμα_26_4_2022.png (23.85 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές

Έτσι η

θα κόψει την

στο μέσον της

και τα τρίγωνα , $SOM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SAE$ θα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας : $\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{d}{c} = \dfrac{{b - c}}{{2c}}\,\,\left( 2 \right)$

Από το θεώρημα Ceva

στο $\vartriangle ABM$ ισχύει : $\dfrac{{AN}}{{NB}} \cdot \dfrac{{BD}}{{DM}} \cdot \dfrac{{MS}}{{SA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{MS}}{{SA}} = \dfrac{{DM}}{{DB}}$ και άρα AB//SD

.

Έτσι λόγω και της $\left( 2 \right)$ : $\dfrac{x}{c} = \dfrac{{DS}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{MA}} \Rightarrow \dfrac{x}{c} = \dfrac{{b - c}}{{2c + \left( {b - c} \right)}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{c\left( {b - c} \right)}}{{b + c}}}$ .

mathematica.gr

Σταθερό τμήμα

Σταθερό τμήμα

Re: Σταθερό τμήμα

Re: Σταθερό τμήμα