mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 11, 2022 2:32 pm**

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δείξατε ὅτι δὲν ὑπάρχουν θετικοὶ ἀκέραιοι γιὰ τοὺς ὁποίους νὰ ἰσχύει ὅτι

$\displaystyle{ \lfloor m\sqrt{2}\rfloor =\lfloor n\sqrt{2}\rfloor +2n. }$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 11, 2022 7:15 pm**

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: Τετ Μάιος 11, 2022 2:32 pm ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δείξατε ὅτι δὲν ὑπάρχουν θετικοὶ ἀκέραιοι γιὰ τοὺς ὁποίους νὰ ἰσχύει ὅτι

$\displaystyle{ \lfloor m\sqrt{2}\rfloor =\lfloor n\sqrt{2}\rfloor +2n. }$

Η εξίσωση γράφεται $\lfloor m\sqrt{2}\rfloor =\lfloor n(\sqrt{2}+2)\rfloor$ .

Ο ισχυρισμός έπεται από το Θεώρημα Beatty με $a=\sqrt{2}$ και $b=2+\sqrt{2}$ , αφού

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=1$

και οι θετικοί αριθμοί

και

είναι άρρητοι.

Σημείωση: Το παραπάνω θέμα έχει προταθεί για τη ΔΜΟ του 1987 από την Μογγολία.

Φιλικά,

Αχιλλέας

mathematica.gr

Ἐξίσωση χωρὶς λύσεις

Ἐξίσωση χωρὶς λύσεις

Re: Ἐξίσωση χωρὶς λύσεις