mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 13, 2022 1:31 pm**

: Ώρα εφαπτομένης 131.png (301.53 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, "εγγράψαμε" το τετράγωνο FEDA

, το οποίο καταλαμβάνει

το $40\%$ της επιφανείας του τριγώνου . Υπολογίστε την $\tan\phi$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 13, 2022 4:18 pm**

KARKAR έγραψε: Παρ Μάιος 13, 2022 1:31 pm Ώρα εφαπτομένης 131.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , "εγγράψαμε" το τετράγωνο , το οποίο καταλαμβάνει

το $40\%$ της επιφανείας του τριγώνου . Υπολογίστε την $\tan\phi$ .

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου. Από την ομοιότητα των τριγώνων BFE, EDC

έχω:

: Ώρα εφαπτομένης 131.png (7.63 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

$\displaystyle \frac{x}{{b - x}} = \frac{{c - x}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{bc}}{{b + c}}.$ Από υπόθεση όμως είναι $\displaystyle {x^2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{{bc}}{2} = \frac{{bc}}{5},$ απ' όπου με αντικατάσταση

καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle {b^2} - 3bc + {c^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{b}{c}} \right)^2} - 3\left( {\frac{b}{c}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{b}{c} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$

Άρα, $\boxed{\tan \varphi = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} = {\Phi ^2}}$

mathematica.gr

Ώρα εφαπτομένης 131

Ώρα εφαπτομένης 131

Re: Ώρα εφαπτομένης 131