mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 20, 2022 2:27 pm**

Ένα σημείο

βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου ABC

. Αν τα τρίγωνα $ABD, \, BCD,\, CAD$ έχουν ίσα εμβαδά, τότε το

είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ABC

.

Ας την αφήσουμε

ώρες για να παιδιά μας.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 20, 2022 8:36 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μάιος 20, 2022 2:27 pm Ένα σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου . Αν τα τρίγωνα $ABD, \, BCD,\, CAD$ έχουν ίσα εμβαδά, τότε το είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου .

: geogebra-export (13).png (232.53 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

1ος τρόπος
'Εστω πως η $\displaystyle{AD}$ τέμνει την $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{M}$ .
Παρτηρούμε πως $\displaystyle{\frac{(BDM)}{(ABD)} = \frac{(MDC)}{(ADC)} = \frac{AD}{DM} \Rightarrow (BDM) = (MDC) \Rightarrow M}$ μέσο της $\displaystyle{BC}$ .
Κυκλικά προκύπτει το ζητούμενο

2ος τρόπος
Έστω $\displaystyle{H, G}$ οι προβολές των $\displaystyle{D, A}$ στην $\displaystyle{BC}$ αντίστοιχα.
$\displaystyle{(BDC) = \frac{1}{3} (ABC) \Rightarrow DH = \frac{1}{3} AG \Rightarrow DM = \frac{1}{2} AD }$ (1) από τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{AGM , DHM}$ .

Άρα $\displaystyle{ \frac{(BDM)}{(BDC)} = \frac{(BDM)}{(ABD)} = \frac{DM}{AD}= \frac{1}{2} \Rightarrow M}$ μέσο της $\displaystyle{BC}$ (2)

Από τις (1), (2) προκύπτει το ζητούμενο

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 20, 2022 10:14 pm**

..... +

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 20, 2022 10:29 pm**

Έστω ότι το

δεν συμπίπτει με το βαρύκεντρο

του τριγώνου ABC

. Τότε το

θα είναι σε κάποιο από τα $ABD,\, BCD,\, CAD$ (εσωτερικό ή πλευρές). Π.χ. όπως στο σχήμα, όπου είναι στο ABD

. Τότε από ιδιότητα του βαρυκέντρου έχουμε

$\dfrac {1}{3} (ABC)= (ABG) <(ABD) = \dfrac {1}{3} (ABC)$ . Άτοπο.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 21, 2022 10:41 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μάιος 20, 2022 2:27 pm Ένα σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου . Αν τα τρίγωνα $ABD, \, BCD,\, CAD$ έχουν ίσα εμβαδά, τότε το είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου .

Ας την αφήσουμε ώρες για να παιδιά μας.

Η

τέμνει την

στο

και έστω