mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 21, 2022 11:07 am**

Καλημέρα, απ' ότι είχα δει είχε συζητηθεί και παλαιότερα, αλλά θέτω το ερώτημα ξανά για να καταλάβω τι ακριβώς γίνεται.
Αν έχουμε την συναρτησιακη $e^{2f(x)} - 2xe^{f(x)}-1 =0$ και για την

ισχύει $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ f(0)=0$ είναι σωστό να χρησιμοποιήσω τον τύπο της διακρίνουσας για να βρω την

; Επίσης ξέρουμε σίγουρα πως επαληθεύει την αρχική(όπως όλες οι λύσεις που προέρχονται από τη διακρίνουσα) ή θέλει επαλήθευση;
Ευχαριστώ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 21, 2022 1:34 pm**

Καλημέρα. Νομίζω ότι αυτός που έφτιαξε την άσκηση θα προτιμούσε να δει κάτι με Bolzano, του στυλ :

Γράψε την αρχική σχέση με προσθαφαίρεση του x^2

στη μορφή $(e^{f(x)}-x)^2=x^2+1,\,x\in\mathbb{R}$ .

Έπειτα $x^2+1\neq 0$ και άρα $e^{f(x)}-x\neq 0$ και λόγω συνέχειας και του γεγονότος $e^{f(0)}-0=1>0$ , θα προκύψει με ρίζες

$e^{f(x)}-x=\sqrt{x^2+1}... f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ (γνωστή άσκηση η $x+\sqrt{x^2+1}>0$ στο $\mathbb{R}$ .

Τώρα αυτό που ρωτάς με διακρίνουσα γίνεται. Είναι $\Delta=4\,x^2+4=4(x^2+1)>0$ και άρα

$e^{f(x)}=\frac{2\,x\pm \sqrt{4(x^2+1)}}{2}=x\pm \sqrt{x^2+1}$

όπου με γνωστή άσκηση πάλι απορρίπτεις το $x-\sqrt{x^2+1}$ και συνεχίζεις κανονικά. Δε χρειάζεται επαλήθευση.

edit : ο πρώτος τρόπος μόνο αν ξέρουμε τη συνέχεια.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 21, 2022 1:50 pm**

BAGGP93 έγραψε: Σάβ Μάιος 21, 2022 1:34 pm Καλημέρα. Νομίζω ότι αυτός που έφτιαξε την άσκηση θα προτιμούσε να δει κάτι με Bolzano, του στυλ :

Γράψε την αρχική σχέση με προσθαφαίρεση του στη μορφή $(e^{f(x)}-x)^2=x^2+1,\,x\in\mathbb{R}$ .

Έπειτα $x^2+1\neq 0$ και άρα $e^{f(x)}-x\neq 0$ και λόγω συνέχειας και του γεγονότος $e^{f(0)}-0=1>0$ , θα προκύψει με ρίζες

$e^{f(x)}-x=\sqrt{x^2+1}... f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ (γνωστή άσκηση η $x+\sqrt{x^2+1}>0$ στο $\mathbb{R}$ .

Τώρα αυτό που ρωτάς με διακρίνουσα γίνεται. Είναι $\Delta=4\,x^2+4=4(x^2+1)>0$ και άρα

$e^{f(x)}=\frac{2\,x\pm \sqrt{4(x^2+1)}}{2}=x\pm \sqrt{x^2+1}$

όπου με γνωστή άσκηση πάλι απορρίπτεις το $x-\sqrt{x^2+1}$ και συνεχίζεις κανονικά. Δε χρειάζεται επαλήθευση.

edit : ο πρώτος τρόπος μόνο αν ξέρουμε τη συνέχεια.

Σας ευχαριστώ πολύ.

mathematica.gr

Διακρίνουσα για την εύρεση τύπου

Διακρίνουσα για την εύρεση τύπου

Re: Διακρίνουσα για την εύρεση τύπου

Re: Διακρίνουσα για την εύρεση τύπου