mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 29, 2022 7:55 pm**

Πως λύνεται το γ΄ερώτημα , αποκλειστικά με ( τη διδακτέα) ύλη Β΄Λυκείου ;

Ένα πολυώνυμο $\displaystyle P(x)$ διαιρούμενο με το πολυώνυμο $\displaystyle 4{{x}^{2}}-1$ δίνει πηλίκο $\displaystyle 3x-2$ και υπόλοιπο 1.
α) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle P(x)=1$ . β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle P(\log 5)\ne 1$ .
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle P(x)=0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle (-1,0)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 29, 2022 8:42 pm**

Γιώργη καλησπέρα. Προφανώς βασίζεται στο θεώρημα της σελίδας 145 (ειδική περίπτωση Θ. Bolzano για πολυωνυμικές συναρτήσεις).

α) Είναι $\displaystyle P\left( x \right) = \left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {3x - 2} \right) + 1$ , οπότε
$\displaystyle P\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( x \right) = \left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {3x - 2} \right) + 1 = 1 \Leftrightarrow P\left( x \right) = \left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = 0$
άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι $\displaystyle {x_1} = - \frac{1}{2},\;{x_2} = \frac{1}{2},\;{x_3} = \frac{2}{3}$

β) Αρκεί να δείξουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle \log 5$ είναι διαφορετικός των παραπάνω ριζών.
Πράγματι, είναι $\displaystyle 5 > e \Rightarrow \log 5 > 1 > \frac{2}{3} > \frac{1}{2} > - \frac{1}{2}$ .

γ) Είναι $\displaystyle P\left( { - 1} \right) = - 14,\;\;P\left( 0 \right) = 3$ , οπότε, επειδή οι τιμές $\displaystyle P\left( { - 1} \right),\;P\left( 0 \right)$ είναι ετερόσημες, τότε υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle P\left( x \right) = 0$ μεταξύ των -1, 0

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 02, 2022 7:05 pm**

Στη φετινή ύλη της Β λυκείου είναι και η μέθοδος προσέγγισης ρίζας

mathematica.gr

Πως λύνεται ;

Πως λύνεται ;

Re: Πως λύνεται ;

Re: Πως λύνεται ;