mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 11, 2022 9:37 am**

Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ να ικανοποιεί $f(x)-\tan (f(x)) = x$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 11, 2022 10:13 am**

Καλημέρα κ. Μιχάλη και καλημέρα σε όλους τους φίλους.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=x-\tan{x}, \ x\in\Delta=\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\Delta$ με παράγωγο $f'(x)=-\tan^2{x}\leq 0$ με ισότητα μόνο στο

. Άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $\Delta$ με σύνολο τιμών $f\left(\Delta\right)=\left(\displaystyle\lim_{x\to - {\pi/2}^+} g(x), \displaystyle\lim_{x\to {\pi/2}^-} g(x)\right)=\mathbb{R}$ .

Συνεπώς για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , η εξίσωση g(y)=x

έχει μοναδική λύση $y\in \Delta$ , την $y=g^{-1}(x)$ .

Άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι η $f(x)=g^{-1}(x)$ .

Αλέξανδρος

mathematica.gr

Ύπαρξη συνάρτησης που ικανοποιεί κάποια σχέση

Ύπαρξη συνάρτησης που ικανοποιεί κάποια σχέση

Re: Ύπαρξη συνάρτησης που ικανοποιεί κάποια σχέση