mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 29, 2022 10:16 am**

: Συντεταγμένη υποχώρηση.png (10.08 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

Το σημείο

κινείται στο εσωτερικό του τμήματος

. Η κάθετη από το

, προς την ημιευθεία

,

την τέμνει στο

, ενώ τέμνει και την προέκταση της

στο

. Βρείτε το μέγιστο του : $BT \cdot TP$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 02, 2023 9:26 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 29, 2022 10:16 am Συντεταγμένη υποχώρηση.pngΤο σημείο κινείται στο εσωτερικό του τμήματος . Η κάθετη από το , προς την ημιευθεία ,

την τέμνει στο , ενώ τέμνει και την προέκταση της στο . Βρείτε το μέγιστο του : $BT \cdot TP$

Καλή χρονιά!!

: ypohorisi.png (83.21 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Από την ομοιότητα των $\triangle BTS$ , $\triangle BPO$ :

$\displaystyle{ \dfrac{BT}{6} = \dfrac{6 - a}{BP} \Leftrightarrow BT \cdot BP = 6(6 - a) }$

Από την ομοιότητα των $\triangle BTS$ , $\triangle SOA$ :

$\displaystyle{ \dfrac{TS}{a} = \dfrac{6 - a}{\sqrt{a^2 + 64}} \Leftrightarrow TS = \dfrac{a(6 - a)}{\sqrt{a^2 + 64}} }$

Έτσι:

$\displaystyle{ BT \cdot BP = BT (BP - BT) = 6(6 - a) - BT^2 = 6(6 - a) - 100 + AT^2 }$

Όμως $AT^2 = (AS + ST)^2 = 2a(6 - a) + a^2 + 64 + \dfrac{a^2(6 - a)^2}{a^2 + 64}$ και επομένως:

$\displaystyle{ BT \cdot BP = 6(6 - a) - 100 + AT^2 = ... = \dfrac{2a(6 - a)(3a + 32)}{a^2 + 64} }$

Παίρνει μέγιστη τιμή όταν $x \approx 2.96$ την $\approx 10.11$ , που είναι και η ζητούμενη.

mathematica.gr

Συντεταγμένη υποχώρηση

Συντεταγμένη υποχώρηση

Re: Συντεταγμένη υποχώρηση