mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 02, 2022 2:13 pm**

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση

$2^{-x^2} \cdot 4^{x} + \sin \dfrac{\pi x}{4} +\cos \dfrac{\pi x}{4} -2 = a^3-3a^2+a +\sqrt{2}$

έχει μοναδική λύση.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, Τμήμα Χημείας, 2002.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 05, 2022 7:48 pm**

Η εξίσωση γράφεται

$2^{-x^2+2x}+sin\frac{\pi x}{4}+cos\frac{\pi x}{4}=a^3-3a^2+a+2+\sqrt{2}$

Η συνάρτηση $f(x)=2^{-x^2+2x}+sin\frac{\pi x}{4}+cos\frac{\pi x}{4}$

έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x=1

και ολικό μέγιστο για x=1

το $2+\sqrt{2}$ (απλό).

Εκτός του μεγίστου, όλες τις άλλες τιμές της, τις παίρνει τουλάχιστον δύο φορές.

Επομένως η εξίσωση έχει μοναδική λύση μόνο όταν η παράσταση $a^3-3a^2+a+2+\sqrt{2}$ είναι ίση με το μέγιστο $2+\sqrt{2}$ κ.λπ.

mathematica.gr

Παραμετρική εξίσωση

Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση