mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 02, 2022 9:07 pm**

Γεια σας, μια απορία πάνω στο εξής. Μπορούμε να δείξουμε πως τρεις μιγαδικοί στο επίπεδο σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Ισχύει και το αντίστροφο;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 02, 2022 10:37 pm**

jas έγραψε: Σάβ Ιούλ 02, 2022 9:07 pm Γεια σας, μια απορία πάνω στο εξής. Μπορούμε να δείξουμε πως τρεις μιγαδικοί στο επίπεδο σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Ισχύει και το αντίστροφο;

Αδυνατώ να πιστέψω ότι δεν μπορείς να απαντήσεις μόνος σου σε αυτό το ερώτημα, ιδίως αν αναλογησθώ ότι είναι αναρτημένο στον φάκελο των ΑΕΙ. Υποθέτω ότι κάτι άλλο θέλεις να ρωτήσεις: Το υποπτεύομαι γιατί το αντίστροφο το οποίο ζητάς, δεν έχει νόημα ούτε ως ερώτηση. Άρα κάποια ασυνταξία έχει το κείμενο. Γράψτο σωστά για να καταλάβουμε τι θέλεις να ρωτήσεις, και θα σου απαντήσουμε.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2022 5:30 pm**

Ναι έχετε δίκιο, ήθελα να πω, οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου αν και μόνο αν,

$\displaystyle{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}}$

Για το ευθύ αντικαθιστώ στη σχέση. Έστω περιγεγραμμένος κύκλος, $S(z_{o},r)$ , $z_{1}=z_{o}+re^{i\theta}$ , $z_{2}=z_{o}+re^{i(\theta+\frac{2\pi}{3})}$ , $z_{1}=z_{o}+re^{i(\theta+\frac{4\pi}{3})}$
Η ερώτηση είναι αν $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ σχηματίζουν ισόπλευρο, πως καταλήγω στην απάνω σχέση;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2022 10:09 pm**

Εαν δεν κάνω λάθος λόγω του ότι οι πλευρές είναι ίσες καθώς και οι γωνίες ισχύει ότι

$\frac{z_3-z_2}{z_2-z_1}=\frac{z_1-z_3}{z_3-z_2}=\frac{z_2-z_1}{z_1-z_3}$

Τώρα λίγη άλγεβρα είναι θέλω να ελπίζω...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2022 10:11 pm**

jas έγραψε: Κυρ Ιούλ 03, 2022 5:30 pm Ναι έχετε δίκιο, ήθελα να πω, οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου αν και μόνο αν,

$\displaystyle{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}}$

Για το ευθύ αντικαθιστώ στη σχέση. Έστω περιγεγραμμένος κύκλος, $S(z_{o},r)$ , $z_{1}=z_{o}+re^{iu}$ , $z_{2}=z_{o}+re^{i(u+\frac{2π}{3})}$ , $z_{1}=z_{o}+re^{i(u+\frac{4π}{3})}$
Η ερώτηση είναι αν $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ σχηματίζουν ισόπλευρο, πως καταλήγω στην απάνω σχέση;

Προσπαθώ να σε καταλάβω. Κάνω άλλη μία προσπάθεια: Ας παραβλέψουμε ως τυπογραφικές αβλεψίες το γεγονός ότι στους εκθέτες λείπουν κάποια $\pi$ (μάλλον τα έχεις δακτυλογραφήσει ως π ενώ το σωστό είναι \pi. Έτσι δεν φαίνονται σωστά.)

Επί της ουσίας: Ρωτάς αν $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ σχηματίζουν ισόπλευρο, πώς καταλήγεις στην παραπάνω σχέση. Μα αυτό που έχεις γράψει ΕΙΝΑΙ ΑΚΡΙΒΩΣ η απόδειξη ότι από το ισόπλευρο τρίγωνο πράγματι καταλήγεις στην παραπάνω σχέση (μετά τις πράξεις). Μήπως ζητάς κάτι άλλο;

Αν δεν ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου ποιο είναι το ευθύ και ποιο είναι το αντίστροφο, δεν κάνουμε βήμα.

Για δες το πάλι, σε παρακαλώ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2022 10:29 pm**

Νομίζω είναι ισοδύναμο ---> https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =51&t=2106

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 03, 2022 11:07 pm**

mick7 έγραψε: Κυρ Ιούλ 03, 2022 10:29 pm Νομίζω είναι ισοδύναμο ---> https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =51&t=2106

Προσοχή, όμως. Προσπαθώ να πω στον jas την ανάγκη να ακριβολογεί (δεδομένου ότι είναι ακόμα στην διαδικασία μάθησης), και μάλλον χαλάς την προσπάθεια.

Φαντάζομαι ότι δεν έβγαλες το συμπέρασμα (από αυτά που έγραψα στα ποστ #2 και #5) ότι πράγματι δεν κατάλαβα τι θέλει να πει ο jas στα παραπάνω δικά του ποστ. Κατάλαβα και παρακατάλαβα! Το θέμα είναι να προέλθει από τον ίδιο ΜΕ ΣΑΦΗΝΕΙΑ η ερώτηση, και να διακρίνει το ευθύ από το αντίστροφο. Στο πρώτο του ποστ δεν έγραψε ούτε στοιχειδώς σωστά την ερώτηση αλλά στο δεύτερο είχαμε ουσιαστική πρόοδο. Να όμως που δεν την ολοκλήρωσε. Ας είναι.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 04, 2022 4:14 pm**

Νομίζω πως κατάλαβα, τα τυπογραφικά διορθώθηκαν. Ευχαριστώ πολύ και τους δύο!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 04, 2022 11:13 pm**

jas έγραψε: Δευ Ιούλ 04, 2022 4:14 pm Νομίζω πως κατάλαβα, τα τυπογραφικά διορθώθηκαν. Ευχαριστώ πολύ και τους δύο!

Αντίθετα, πιστεύω ότι δεν έχεις ξακαθαρίσει το σημείο που επεσήμανα, συγκεκριμένα

jas έγραψε: Κυρ Ιούλ 03, 2022 5:30 pm
Επί της ουσίας: Ρωτάς αν $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ σχηματίζουν ισόπλευρο, πώς καταλήγεις στην παραπάνω σχέση. Μα αυτό που έχεις γράψει ΕΙΝΑΙ ΑΚΡΙΒΩΣ η απόδειξη ότι από το ισόπλευρο τρίγωνο πράγματι καταλήγεις στην παραπάνω σχέση (μετά τις πράξεις). Μήπως ζητάς κάτι άλλο;

Σε παροτρύνω να το ξανασκεφτείς, γιατί φαίνεται να μπερδεύεις (για τρίτη φορά) το ευθύ με το αντίστροφο. Δεν επανέρχομαι αλλά κλείνω με απόδειξη του γεγονότος ότι η σχέση

$\displaystyle{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}}$

δίνει ισόπλευρο τρίγωνο: την άλλη κατεύθυνση της έχεις δείξει (το κύριο βήμα). Θα δώσω δύο αποδείξεις. Η μία είναι ουσιαστικά επανάληψη αυτών στις παραπάνω παραπομπές, αλλά δίνω και μία νέα.

Πρώτη απόδειξη. Η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα (z_1-z_2)^2+(z_2-z_3)^2+(z_3-z_1)^2=0

. Θέτουμε (για τυπογραφική ευκολία) $p=z_1-z_2,\, q=z_2-z_3,\, r= z_3-z_1$ . Άρα έχουμε p+q+r=0

και

, Έπεται

p^2= -q^2-r^2 = 2qr-(q+r)^2 =2qr-(-p)^2=2qr-p^2

. Άρα

και άρα

. Λόγω συμμετρίας έχουμε p^3=q^3=r^3=pqr

. Παίρνοντας μέτρο έχουμε |p|^3=|q|^3=|r|^3

, ισοδύναμα |p|=|q|=|r|

που μας λέει ακριβώς ότι οι πλευρές $z_1-z_2,\, z_2-z_3,\, z_3-z_1$ έχουν ίσα μήκη (ισόπλευρο τρίγωνο).

Δεύτερη απόδειξη. Αν $\omega$ μιγαδική κυβική ρίζα της μονάδας, οπότε $1+ \omega + \omega ^2 =0$ , η δοθείσα γράφεται

$(z_1+\omega z_2+ \omega ^3 z_3)(z_1+\omega ^2z_2+ \omega z_3)=0$ .

Άρα $z_1+\omega z_2+ \omega ^2 z_3=0$ ή $z_1+\omega ^2z_2+ \omega z_3=0$ .

Η πρώτη (όμοια η δεύτερη) δίνει

$z_1-z_2= -(\omega z_2+ \omega ^2 z_3)-z_2= -(1+\omega) z_2+\omega ^2 z_3=- \omega ^2(z_2-z_3)$ .

Παίρνοντας μέτρα έχουμε |z_1-z_2|=|z_3-z_2|

. Λόγω συμμετρίας έχουμε |z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|

, που είναι το αποδεικτέο.

Σχόλιο: Υπάρχουν και άλλες ισοδύμναμες συνθήκες, πέρα από τις

$\displaystyle{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}}$ και (z_1-z_2)^2+(z_2-z_3)^2+(z_3-z_1)^2=0

.

Δύο τέτοιες είναι οι

(z_1-z_2)(z_1-z_3)+(z_2-z_3)(z_2-z_1)+(z_3-z_2)(z_3-z_1)=0

και

$\dfrac {1}{z_1-z_2}+\dfrac {1}{z_2-z_3}+\dfrac {1}{z_3-z_1}=0$

mathematica.gr

ισόπλευρο μιγαδικών

ισόπλευρο μιγαδικών

Re: ισόπλευρο μιγαδικών

Re: ισόπλευρο μιγαδικών

Re: ισόπλευρο μιγαδικών

Re: ισόπλευρο μιγαδικών

Re: ισόπλευρο μιγαδικών

Re: ισόπλευρο μιγαδικών

Re: ισόπλευρο μιγαδικών

Re: ισόπλευρο μιγαδικών