mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 08, 2022 4:30 am**

Καλημέρα!
Μπορεί κάποιος να αποδείξει αυτή την ταυτότητα:
$\displaystyle{\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+ \cfrac{3}{3+\cfrac{6}{ 4+\cfrac{10 }{ 5+\cfrac{15}{ 6+\cfrac{21}{\cdots}}}}}}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 08, 2022 11:01 pm**

http://me.math.uoa.gr/dipl/dipl_Ntriankos.Sokratis.pdf

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 09, 2022 6:48 am**

Ευχαριστώ για τον σύνδεσμο.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 09, 2022 9:45 am**

Σωκράτης Ντριάνκος έγραψε: Παρ Ιούλ 08, 2022 11:01 pm http://me.math.uoa.gr/dipl/dipl_Ntriankos.Sokratis.pdf

Σωκράτη, χάνω κάτι;

Ναι μεν εξαιρετική η Διατριβή (την ήξερα άλλωστε από παλαιότερα) αλλά ασχολείται με τα λεγόμενα απλά συνεχή κλάσματα (αριθμητές ίσους με

). Η συγκεκριμένη ερώτηση εδώ ζητά συνεχές κλάσμα με αριθμητές $\frac {1}{2}n(n+1)$ στο n-οστό επίπεδο. Υπάρχει κάτι σχετικό στην διατριβή και δεν το βλέπω; Σε ποια σελίδα βρίσκεται; Ρωτάω γιατί η ανάρτηση ενός συνδέσμου υπονοεί παραπομπή στην λύση του προβλήματος, αλλά εδώ δεν φαίνεται να υπάρχει τέτοια παραπομπή.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 09, 2022 12:44 pm**

Έχετε δίκαιο...μετά από 30 χρόνια στα σχολεία, μετά από "άπειρες" παρατηρήσεις στους μαθητές να απομνημονεύουν την εκφώνηση και μετά να λύνουν την άσκηση...εγώ διάβασα μόνο την πρώτη γραμμή [ίσως άρχισαν τα ηλικιακά προβλήματα!].

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 09, 2022 9:35 pm**

Έστω ότι $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$
θα δείξουμε ότι $\frac{n}{\sqrt{3}+1}=\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}$
Πράγματι

$S_n=\frac{n(n+1)}{2}\Leftrightarrow$
$2S_n=n(n+1)\Leftrightarrow$

$\frac{2S_n}{\sqrt{3}+1}=\frac{n(n+1)}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{S_n}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}=\frac{n(n+1)}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{S_n}{1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=\frac{n(n+1)}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{S_n}{1+\frac{1}{\sqrt{3}+1}}=\frac{n(n+1)}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}=\frac{n}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{n}{\sqrt{3}+1}=\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}$ (*)

Άρα
$\sqrt{3}=1+\sqrt{3}-1= 1+\frac{2}{\sqrt{3}+1}=$
$1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}=$
$1+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=$
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{3}+1}}=$ (από *)
$1+\frac{1}{1+\frac{S_1}{2+\frac{2}{\sqrt{3}+1}}}=$ (από *)
$1+\frac{1}{1+\frac{S_1}{2+\frac{S_2}{3+\frac{3}{\sqrt{3}+1}}}}=$ (από *)
$1+\frac{1}{1+\frac{S_1}{2+\frac{S_2}{3+\frac{S_3}{4+\frac{4}{\sqrt{3}+1}}}}}=\\$

κλπ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 09, 2022 11:01 pm**

add2math έγραψε: Σάβ Ιούλ 09, 2022 9:35 pm Έστω ότι $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$
θα δείξουμε ότι $\frac{n}{\sqrt{3}+1}=\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}$

Σωστά και καλά. Το μόνο μου σχόλιο είναι ότι πλατειάζεις σε υπερθετικό βαθμό. Για παράδειγμα θέλεις καμιά δεκαρία γραμμές να δείξεις το παραπάνω, ενώ είναι άμεσο. Συγκεκριμένα, το δεξί μέλος είναι (και πολλά γράφω)

$\displaystyle{ \dfrac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}= \dfrac{\frac {1}{2}n\cancel { {(n+1)}}}{\cancel {(n+1)}\left (1+\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right ) }= \dfrac {n}{2\left ( 1 + \frac {\sqrt 3 -1}{2} \right )}= \dfrac {n}{2 + \sqrt 3 -1}=}$ αριστερό μέλος.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 10, 2022 10:33 am**

@add2math @Mihalis_Lambrou Ευχαριστώ.

mathematica.gr

Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα