mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 17, 2022 9:45 am**

: Εξωτικός τόπος.png (7.84 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

Προεκτείνουμε τις πλευρές CO , CB

του "ημιτετραγώνου" COB

, κατά τμήματα OD=x , BE=2x

αντίστοιχα (

μεταβλητό ) . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τομής

, των τμημάτων DB , OE

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 17, 2022 11:35 am**

Kαλημέρα σε όλους. Ξεκινώ με φορμαλιστική λύση με τα εργαλεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας.

: 17-07-2022 Γεωμετρία.png (16.22 KiB) Προβλήθηκε 724 φορές

Έστω $\displaystyle O\left( {0,0} \right),\;B\left( {1,0} \right),C\left( {0,1} \right),D\left( {0,t} \right),\;t < 0$

$\displaystyle BE:\;y = - x + 1$ .

Έστω $\displaystyle E\left( {k,\; - k + 1} \right),\;k > 1$ , οπότε $\displaystyle BE = 2\left| t \right| \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)\sqrt 2 = - 2t \Leftrightarrow k = - \sqrt 2 t + 1$

Οπότε $\displaystyle E\left( { - \sqrt 2 t + 1,\;\sqrt 2 t} \right)$ .

$\displaystyle BD:\;y = - tx + t,\;\;OE:\;y = \frac{{\sqrt 2 t}}{{ - \sqrt 2 t + 1}}x$

Οπότε $\displaystyle S\left( {\frac{{\sqrt 2 t - 1}}{{\sqrt 2 t - 1 - \sqrt 2 }},\frac{{ - \sqrt 2 t}}{{\sqrt 2 t - 1 - \sqrt 2 }}} \right)\;$

Το

κινείται στην ανοιχτή ημιευθεία $\displaystyle y = - \frac{{\sqrt 2 + 2}}{2}x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ με y<0

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 17, 2022 6:30 pm**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιούλ 17, 2022 9:45 am Εξωτικός τόπος.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές του "ημιτετραγώνου" , κατά τμήματα

αντίστοιχα ( μεταβλητό ) . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τομής , των τμημάτων .

Μία ευφάνταστη αντιμετώπιση. (Η αρχική μου λύση είναι ίδια με του Γιώργου).

Έστω

η προβολή του

στην

οπότε $BP=PE=x\sqrt 2.$ Θέτω $\displaystyle OB = OC = a \Rightarrow BC = a\sqrt 2.$

Φέρνω από τα O,B

παράλληλες στις CB, CO

αντίστοιχα και σχηματίζω το παραλληλόγραμμο COAB.

Η

τέμνει την

στο

και οι

τις

στα

αντίστοιχα.

: Εξωτικός τόπος.png (12.8 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

$\displaystyle \frac{{AH}}{{HO}} = \frac{{AB}}{{OD}} = \frac{a}{x}$ και $\displaystyle \frac{{BF}}{{PE}} = \frac{{OB}}{{OP}} \Leftrightarrow \frac{{BF}}{{x\sqrt 2 }} = \frac{a}{{a + x\sqrt 2 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{BF = \frac{{ax\sqrt 2 }}{{a + x\sqrt 2 }}}$ (1)

$\displaystyle \frac{{BF}}{{FA}} = \frac{{BF}}{{a - BF}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{x\sqrt 2 }}{a}.$ Εφαρμόζω το θεώρημα Ceva στο τρίγωνο AOB:

$\displaystyle \frac{{OT}}{{TB}} \cdot \frac{{BF}}{{FA}} \cdot \frac{{AH}}{{HO}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{OT}}{{TB}} \cdot \frac{{x\sqrt 2 }}{a} \cdot \frac{a}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{{OT}}{{TB}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{OC}}{{CB}}$

Άρα το σημείο

είναι σταθερό (ίχνος της διχοτόμου από την κορυφή

). Εξάλλου και το

είναι σταθερό ως

τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου COAB.

Επομένως το

κινείται στην σταθερή ημιευθεία TA.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 18, 2022 10:16 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιούλ 17, 2022 9:45 am Εξωτικός τόπος.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές του "ημιτετραγώνου" , κατά τμήματα

αντίστοιχα ( μεταβλητό ) . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τομής , των τμημάτων .

Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο CPTB

, οπότε το σημείο

είναι σταθερό .

Θέτω CO = OB = BT = b

(σταθερό ) και ας είναι :

το σημείο τομής των $TS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OB$ .

Ας είναι ακόμα

το σημείο τομής της μεταβλητής

με την σταθερή ευθεία

και

της μεταβλητής

με τη σταθερή ευθεία

.

: Εξωτικός τόπος.png (16.92 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Επειδή στο $\vartriangle TOB$ από το Θ. Ceva

ισχύει : $\dfrac{{OK}}{{KT}} \cdot \dfrac{{TL}}{{LB}} \cdot \dfrac{{BF}}{{FO}} = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{b} \cdot \dfrac{{b\sqrt 2 }}{{2x}} \cdot \dfrac{{BF}}{{FO}} = 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{BF}}{{FO}} = \sqrt 2 }$ .

Δηλαδή το

είναι σταθερό σημείο κι επειδή και το

σταθερό ο γ. τ. που θέλω είναι η σταθερή ημιευθεία

(χωρίς το

).

Παρεμφερής με του Γιώργου.

mathematica.gr

Εξωτικός τόπος

Εξωτικός τόπος

Re: Εξωτικός τόπος

Re: Εξωτικός τόπος

Re: Εξωτικός τόπος