mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 26, 2022 9:54 am**

: Γι αυτό το λόγο.png (6.18 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

Στο σχήμα το τετράπλευρο ABCD

είναι τετράγωνο. Βρείτε το λόγο , $\dfrac{{HD}}{{DE}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 26, 2022 8:44 pm**

Πολύ όμορφη άσκηση!

: Γι αυτό το λόγο.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

Μου θύμισε αρκετά το 4ο πρόβλημα Ευκλείδη Α' Λυκείου 2020, οπότε η λύση μου είναι βασισμένη σε αυτό.

Είναι: $\angle FDC=27^{\circ}$ και $\angle ADE=18^{\circ}$ οπότε $\angle AED=72^{\circ}$

Έστω $HN\perp DE$ και $DL \perp EF$ .

Είναι: $\triangle ADE\approx \triangle DHN$ διότι είναι ορθογώνια και έχουν $\angle AED = \angle NDH=72^{\circ}$

Οπότε έχουμε τους λόγους ομοιότητας: $\dfrac{HN}{DA}=\dfrac{DN}{AE}=\dfrac{HD}{DE}$

Φέρουμε κύκλο (D,DF)

που τέμνει την προέκταση της

στο

.

Επίσης: $\triangle DKA=\triangle DCF$ διότι είναι ορθογώνια, DK=DF

και

.

Οπότε: $\angle KDA =\angle FDC=27^{\circ}$ και $\angle DKA = \angle DFC=63^{\circ}$

Έτσι ισχύει: $\triangle DKE=\triangle DFE$ καθώς: DK=DF

,

κοινή και $\angle KDE=\angle EDF=45^{\circ}$

Άρα είναι: $\angle KED =\angle FED=72^{\circ}$ δηλαδή: $\triangle DHE$ ισοσκελές.

Οπότε αφού

ύψος της βάσης θα είναι

μέσο του

και

διχοτόμος της $\angle DHE$ δηλαδή: $\angle DHN=18^{\circ}$

Έτσι, στο ορθογώνιο $\triangle DNH$ έχουμε: $\sin 18^{\circ}=\dfrac{DN}{DH}\Leftrightarrow DH=\dfrac{DN}{\sin 18^{\circ}}$

Και επειδή DE=2DN