mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 14, 2022 10:20 am**

Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ μία συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $x,\, y$ με $|f(x)-f(y)| \ne 1$ .

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Νομίζω ότι είναι αρκετά διδακτική άσκηση για τους πρωτόπειρους.)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 14, 2022 4:16 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 14, 2022 10:20 am Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ μία συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $x,\, y$ με $|f(x)-f(y)| \ne 1$ .

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Νομίζω ότι είναι αρκετά διδακτική άσκηση για τους πρωτόπειρους.)

Καλησπέρα,

Υποθέτω πως η άσκηση αναφέρεται σε διαφορετικούς x, y

, γιατί αλλίως είναι προφανές.
Έστω προς άτοπο ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, δηλαδή |f(x) - f(y)| = 1

, για κάθε διακεκριμένους x,y

Για τους διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c

έχουμε :

Διακρίνουμε περιπτώσεις :

Αν $f(a) - f(b) = f(a) - f(c) = \pm 1 \Rightarrow f(b) = f(c)$ , άτοπο από την υπόθεσή μας
Αν χωρίς βλάβη της γενικότητας $f(a) = f(b) - 1 = f(c) + 1 \Rightarrow f(b) - f(c) = 2 \Rightarrow |f(b) - f(c)| = 2$ , προφανώς άτοπο.

Άρα υπάρχουν πραγματικοί x,y