mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 15, 2022 7:08 pm**

Χρόνια πολλά στην Μαρία , στην Δέσποινα , στον Παναγιώτη.

: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 2425 φορές

Έστω τα εφαπτόμενα τμήματα $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ κύκλου $\left( \Omega \right)$ . Τυχαία τέμνουσα δια του

συναντά, στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ τον κύκλο και τη χορδή

στο

.

Έστω τώρα τυχαίο σημείο

του κύκλου $\left( \Omega \right)$ και ευθεία διερχομένη δια του

τέμνει :

Την ευθεία

στο

και τις ευθείες $FB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FD$ στα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ αντίστοιχα .

Αν MK = ML

δείξετε ότι η ευθεία

είναι παράλληλη στην

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 15, 2022 8:14 pm**

η απόδειξή μου είναι ''λερωμένη '' με τριγωνομετρία και έχει πολλές πράξεις, για αυτό δεν έχω το χρόνο να την γράψω, θα πάω βόλτα .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 15, 2022 8:21 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Αύγ 15, 2022 7:08 pm Χρόνια πολλά στην Μαρία , στην Δέσποινα , στον Παναγιώτη.
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21.png
Έστω τα εφαπτόμενα τμήματα $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ κύκλου $\left( \Omega \right)$ . Τυχαία τέμνουσα δια του συναντά, στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ τον κύκλο και τη χορδή στο .

Έστω τώρα τυχαίο σημείο του κύκλου $\left( \Omega \right)$ και ευθεία διερχομένη δια του τέμνει :

Την ευθεία στο και τις ευθείες $FB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FD$ στα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ αντίστοιχα .

Αν δείξετε ότι η ευθεία είναι παράλληλη στην .

Νομίζω είναι φως φανάρι

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 15, 2022 8:23 pm**

cool geometry έγραψε: Δευ Αύγ 15, 2022 8:14 pm η απόδειξή μου είναι ''λερωμένη '' με τριγωνομετρία και έχει πολλές πράξεις, για αυτό δεν έχω το χρόνο να την γράψω, θα πάω βόλτα .

Ποσο θα κρατήσει αυτή η βόλτα ;

Ελπίζω όχι οσο η άλλη βόλτα ( περιμένουμε ακόμα )

Ανυπομονούμε να σε απολαύσουμε εστω και " λερωμένο "

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 15, 2022 8:30 pm**

Αύριο το μεσημέρι λογικά θα δώσω τη λύση.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 15, 2022 8:39 pm**

cool geometry έγραψε: Δευ Αύγ 15, 2022 8:30 pm Αύριο το μεσημέρι λογικά θα δώσω τη λύση.

Παρακαλώ του γνωστούς Μαστόρους που χρόνια Λαμπρύνουν το να μην ανεβάσουν ακόμα λύση περιμένοντας αυτή του πιο πάνω,

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 15, 2022 8:44 pm**

cool geometry έγραψε: Δευ Αύγ 15, 2022 8:30 pm Αύριο το μεσημέρι λογικά θα δώσω τη λύση.

Θα σε περιμένω αρκεί να μην αργήσεις στη βόλτα όπως σε άλλο θέμα

Δεν δίνω πράγματι λύση γιατί φαντάζομαι οτι θα είναι ίδια με τη δίκη σου

( τη δεύτερη λύση σου , όχι αυτή με την τριγωνομετρία ( για την οποία εχω τις αμφιβολίες μου ))

Υ.Σ Μοιάζουμε με αμερικανάκια ;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 2:44 pm**

cool geometry έγραψε: Δευ Αύγ 15, 2022 8:30 pm Αύριο το μεσημέρι λογικά θα δώσω τη λύση.

Εδω στην Αιδηψό συνάδελφε πέρασε το μεσημέρι

Δεν ξέρω τι ώρα έχετε εκεί

Εμείς περιμένουμε

Αν θέλεις τη συμβουλή μου μην πας βόλτα σήμερα

Κάνει πολύ ζέστη

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 2:53 pm**

Καλησπέρα,
Αρκεί να δείξουμε ότι η (FA, FB, FC, FD)

είναι αρμονική.
Τώρα, αυτό αποτελεί ίσως κάποιο θεώρημα η κάποιο γνωστό λήμμα το οποίο όμως μου διαφεύγει...
Ας με διαφωτίσει κάποιος. Βγάζει κάπου η λύση με αρμονικές;
Ευχαριστώ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 3:01 pm**

Κυριάκος Τσουρέκας έγραψε: Τρί Αύγ 16, 2022 2:53 pm Καλησπέρα,
Αρκεί να δείξουμε ότι η είναι αρμονική.
Τώρα, αυτό αποτελεί ίσως κάποιο θεώρημα η κάποιο γνωστό λήμμα το οποίο όμως μου διαφεύγει...
Ας με διαφωτίσει κάποιος. Βγάζει κάπου η λύση με αρμονικές;
Ευχαριστώ

Κυριάκο,

Το τετραπλευρο ACBD

είναι αρμονικό και γιαυτο συμβαίνει αυτό που ισχυρίζεσαι και τελειώσαμε

Μας μένει η λυση με την τριγωνομετρία

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 3:14 pm**

Ναι έχετε δίκιο μου διέφυγε τελείως!
Ευχαριστώ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 3:15 pm**

Καλησπερίζω την παρέα!!! Μήπως ξέρει κανείς πως μπορώ να κάνω το Latex να λειτουργήσει; Το λέω γιατί θέλω να γράψω και τη δική μου προσέγγιση πάνω στο θέμα. Γιατί δεν λειτουργεί το Latex; γιατί;;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 3:22 pm**

cool geometry έγραψε: Τρί Αύγ 16, 2022 3:15 pm Καλησπερίζω την παρέα!!! Μήπως ξέρει κανείς πως μπορώ να κάνω το Latex να λειτουργήσει; Το λέω γιατί θέλω να γράψω και τη δική μου προσέγγιση πάνω στο θέμα. Γιατί δεν λειτουργεί το Latex; γιατί;;

Το Latex δεν λειτουργεί σε αυτό το θέμα

Δοκίμασε άλλο θέμα και μπορεί να λειτουργήσει

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 3:23 pm**

Σοβαρά μιλάω, δεν λειτουργεί.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 3:24 pm**

Σας παρακαλώ πείτε μου τι να κάνω για να λειτουργήσει.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 3:26 pm**

cool geometry έγραψε: Τρί Αύγ 16, 2022 3:23 pm Σοβαρά μιλάω...;;;;;;;;

Το άλλο με το βοσκό και το λύκο το ξέρεις

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 4:32 pm**

αλήθεια λέω, χθες το βράδυ πήγα βόλτα και το μεσημέρι σήμερα ήθελα πάρα πολύ να μοιραστώ μαζί σας μία διαφορετική προσέγγιση.
σας ορκίζομαι στα συγγενικά μου πρόσωπα ότι δεν λειτουργεί το Latex.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 5:41 pm**

έφτιαξα το Latex!!!

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 7:25 pm**

Το Latex λειτούργησε!!!
Η λύση μου είναι η εξής:
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο BCDF

είναι $\angle DCB=\angle LFM,\angle BDC=\angle KFM,$ άρα στο $\bigtriangleup FLK$ είναι: $\frac{FK}{FL}=\frac{\cos \angle LFM}{\cos \angle KFM}=\frac{\cos \angle DCB}{\cos \angle BDC}=\frac{DB}{BC}(1)$
Από το αρμονικό τετράπλευρο ACBD

είναι $BC\cdot AD=AC\cdot DB\Leftrightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{DB}{BC}(2)$
Οι δύο αυτές σχέσεις μας οδηγούν στη σχέση $\frac{FK}{FL}=\frac{AD}{AC}(3)$
Ακόμα ισχύει ότι $\angle LFK=180^{0}-\angle DFC=\angle DAC(4)$
Από τις σχέσεις (3),(4)

προκύπτει ότι $\bigtriangleup FKL\sim \bigtriangleup ADC,$ άρα $\angle ACD=\angle AFD=\angle FLK$
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 16, 2022 9:39 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Αύγ 15, 2022 7:08 pm Χρόνια πολλά στην Μαρία , στην Δέσποινα , στον Παναγιώτη.
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21.png
Έστω τα εφαπτόμενα τμήματα $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ κύκλου $\left( \Omega \right)$ . Τυχαία τέμνουσα δια του συναντά, στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ τον κύκλο και τη χορδή στο .

Έστω τώρα τυχαίο σημείο του κύκλου $\left( \Omega \right)$ και ευθεία διερχομένη δια του τέμνει :

Την ευθεία στο και τις ευθείες $FB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FD$ στα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ αντίστοιχα .

Αν δείξετε ότι η ευθεία είναι παράλληλη στην .

Για κάθε σημείο

της χορδής

,το τετράπλευρο ACBD

είναι αρμονικό.

: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 2042 φορές

Τώρα για κάθε σημείο

του κύκλου $\left( \Omega \right)$ η δέσμη : $F\left( {A,B\backslash C,D} \right)$ είναι αρμονική

και αφού οι ακτίνες , $FB,\,FC,FD$ τέμνουν την ευθεία δια του

στα σημεία ,

M,K,L

και το

είναι μέσο του

, η τέταρτη ακτίνα FA//TL

.

Παρατήρηση.

Δείτε σχετικό θεώρημα, στο εξαίρετο βιβλίο: Διαγωνισμοί στα μαθηματικά Β και Γ Λυκείου ( 1ος τόμος) των :

Μάγκου, Μουρούκου, Στεργίου , Συγγελάκη και Χριστοφίδη ( Σελίδα 109).

Θερμά συγχαρητήρια στο μαθητή της Α λυκείου Κυριάκο Τσουρέκα . Τώρα για τον Στάθη που τα βλέπει όλα στον αέρα οτι και να πείς είναι λίγο.

mathematica.gr

τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21

Re: τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 21