mathematica.gr • Κορυφαίος τόπος

Σελίδα 1 από 1

Κορυφαίος τόπος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 26, 2022 8:12 am

από KARKAR

: Κορυφαίος τόπος.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

Μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τις ευθείες y=1

y=1

και

y=4

στα σημεία A , B

A , B

.

Σχεδιάζουμε το "ημιτετράγωνο" ABC

ABC

. Ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής

( καρτεσιανή εξίσωση ) .

Λύστε το ίδιο θέμα , αντικαθιστώντας τις , με τις .

Re: Κορυφαίος τόπος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 26, 2022 12:38 pm

από Mihalis_Lambrou

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 26, 2022 8:12 am Κορυφαίος τόπος.pngΜεταβλητή ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τις ευθείες και στα σημεία .

Σχεδιάζουμε το "ημιτετράγωνο" . Ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής ( καρτεσιανή εξίσωση ) .

Λύστε το ίδιο θέμα , αντικαθιστώντας τις , με τις .

Aν η μεταβλητή ευθεία είναι η y=mx

y=mx

με

m>0

, τότε $A(a,ma),\,B(b,mb)$ . Aν C(p,q)

C(p,q)

τότε η συνθήκη $CA\perp AB$ δίνει $\dfrac {q-ma}{p-a}\cdot m=-1$ και η CA=AB

CA=AB

δίνει

(p-a)^2+(q-ma)^2=(a-b)^2+(ma -mb)^2

.

Λύνοντας ως προς $p,\,q$ θα βρούμε $(p,\,q)=(m(a-b)+a,\, ma-a+b)$ ή $(p,\,q)=(m(b-a)+a,\, ma+a+b)$ .

Και τα δύο οδηγούν σε ευθεία για τον τόπο των ζευγών $(p,\,q)$ . Π.χ. το πρώτο (διώχνοντας το

) δίνει

q(b-a)=-ap-2ab+b^2

(ελπίζω να έκανα τις πράξεις σωστά). Όμοια το δεύτερο που προκύπτει από την συμμετρική θέση του

ως προς την μεταβλητή ευθεία.

Re: Κορυφαίος τόπος

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 27, 2022 5:07 pm

από rek2

Ας το δούμε κι αλλιώς. Προφανώς AC=AB=3OA

AC=AB=3OA

Θεωρώ το σημείο C'(-3,1)

C'(-3,1)

που είναι η θέση του

, όταν το

πάρει την θέση A'(0,1)

A'(0,1)

Τα ορθογώνια τρίγωνα OAC, OA'C'

OAC, OA'C'

είναι όμοια, άρα οι γωνίες των κορυφών τους C,C'

C,C'

είναι ίσες και το OACC'

OACC'

είναι εγγράψιμο, οπότε η CC'

CC'

είναι κάθετη στην OC'.

OC'.

Έτσι, το

κινείται στην σταθερή ευθεία που είναι κάθετη στο

της

OC'

. Η ευθεία αυτή είναι ο ζητούμενος τόπος αφού, αντιστρόφως, σε κάθε σημείο της

, διάφορο του C',

C',

ο κύκλος

OC'C

προσδιορίζει το σημείο

της

y=1

κ.λπ.