mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 07, 2022 4:14 pm**

: Ύψος εφαπτομένη.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 1357 φορές

Θεωρώ ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ και έστω

το ύψος του και

το μέσο της AB.

Το

είναι

σημείο του τμήματος CM,

ώστε $A\widehat BE = M\widehat CB.$ Να δείξετε ότι το

εφάπτεται στον περίκυκλο του ABE.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 07, 2022 6:33 pm**

george visvikis έγραψε: Τετ Σεπ 07, 2022 4:14 pm Ύψος εφαπτομένη.png
Θεωρώ ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ και έστω το ύψος του και το μέσο της Το είναι

σημείο του τμήματος ώστε $A\widehat BE = M\widehat CB.$ Να δείξετε ότι το εφάπτεται στον περίκυκλο του

Η

εφάπτεται του κύκλου (B,E,C)

οπότε

,συνεπώς η

είναι εφαπτόμενη του κύκλου (A,E.C)

Άρα $\angle BAE= \angle ACE$ κι επειδή οι γωνίες BAD,ACD

είναι ίσες,θα είναι ίσες και οι γωνίες

MCB,EBA,EAD

και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: ύψος εφαπτομένη.png (39.86 KiB) Προβλήθηκε 1299 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 07, 2022 6:41 pm**

Καλησπέρα σας!

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

. Τότε το

παραλληλόγραμμο.
Άρα $\angle EBA = \angle ECB = \angle EC'A$ . Άρα AECB'

εγγράψιμο.
Ισχύει $\angle C'BA = \angle BAC = 90^{\circ}$ . Άρα

' διάμετρος του (ABE)

και $\angle C'AD = \angle ADC = 90^{\circ}$ , άρα η

εφάπτεται στον (ABE)

.

: ύψος εφαπτομένη.png (36.66 KiB) Προβλήθηκε 1293 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 08, 2022 11:53 am**

george visvikis έγραψε: Τετ Σεπ 07, 2022 4:14 pm

Θεωρώ ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ και έστω το ύψος του και το μέσο της Το είναι

σημείο του τμήματος ώστε $A\widehat BE = M\widehat CB.$ Να δείξετε ότι το εφάπτεται στον περίκυκλο του

Και πιο σύντομα με ένα γνωστό λήμμα που έχω ξαναχρησιμοποιήσει

:

Επειδή $\widehat{ECB} = \widehat{EBM}$ και το

είναι σημείο της διαμέσου

, ο περίκυκλος του τριγώνου CAE

υποχρεωτικά εφάπτεται της

(ή $\widehat{BAE} = \widehat{ACE}$ ) και το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 08, 2022 6:21 pm**

george visvikis έγραψε: Τετ Σεπ 07, 2022 4:14 pm Ύψος εφαπτομένη.png
Θεωρώ ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ και έστω το ύψος του και το μέσο της Το είναι

σημείο του τμήματος ώστε $A\widehat BE = M\widehat CB.$ Να δείξετε ότι το εφάπτεται στον περίκυκλο του

Η διάμεσος

προς την υποτείνουσα

ισούται προς το μισό της και άρα , $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_3}}$ $\left( 1 \right)$ .

Αλλά η, $\widehat {{\omega _{}}}$ είναι εξωτερική στο $\vartriangle DCM$ , συνεπώς $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_4}}\,\,\left( 2 \right)$ . Αφού όμως από την υπόθεση $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ από τις $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω: $\boxed{\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}}$ .

: Ύψος εφαπτομένη_μια λύση.png (25.47 KiB) Προβλήθηκε 1163 φορές

Η προηγούμενη σχέση μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο , BDME

είναι εγγράψιμο .
$\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_3}}\,\, \hfill \\ \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_3}} = \widehat {DAC} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Η πρώτη από το εγγράψιμο BDME

, η δεύτερη , ως συμπληρώματα ορθής.

Τώρα όμως $\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {DAC}$ και έτσι και το τετράπλευρο AEDC

είναι εγγράψιμο , οπότε $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ , δηλαδή αυτό που θέλω.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 02, 2023 11:42 am**

george visvikis έγραψε: Τετ Σεπ 07, 2022 4:14 pm Ύψος εφαπτομένη.png
Θεωρώ ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ και έστω το ύψος του και το μέσο της Το είναι

σημείο του τμήματος ώστε $A\widehat BE = M\widehat CB.$ Να δείξετε ότι το εφάπτεται στον περίκυκλο του