mathematica.gr

Λέμε ότι ένα πεπερασμένο σύνολο θετικών ακεραίων είναι τετράγωνο αν δεν είναι κενό και το γινόμενο όλων των στοιχείων του είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. Αποδείξτε ότι το σύνολο έχει ακριβώς τετράγωνα υποσύνολα.

Ας θυμηθούμε ένα σύνολο στοιχείων έχει υποσύνολα εκ των οποίων έχουν περιττό πλήθος στοιχείων και έχουν άρτιο πλήθος στοιχείων. (Υπολογίζουμε και το κενό σύνολο σε αυτά.)

• Από το σύνολο δεν μπορούμε να επιλέξουμε κανέναν αριθμό.

• Από το σύνολο είμαστε αναγκασμένοι να επιλέξουμε άρτιο πλήθος στοιχείων. Αυτό γίνεται με τρόπους.

• Από το σύνολο είμαστε αναγκασμένοι να επιλέξουμε άρτιο πλήθος στοιχείων. Αυτό γίνεται με τρόπους.

• Από το σύνολο είμαστε αναγκασμένοι να επιλέξουμε είτε περιττό είτε άρτιο πλήθος στοιχείων αναλόγως αν έχει ήδη επιλεχθεί το ή όχι. (Εδώ κοιτάζουμε τα πολλαπλάσια του . Τα και δεν παίζουν ρόλο ακόμη αφού και στα δύο το εμφανίζεται σε άρτια δύναμη.) Σε κάθε περίπτωση αυτό γίνεται με τρόπους.

• Από το σύνολο μπορούμε να επιλέξουμε όποια στοιχεία θέλουμε. Αυτό γίνεται με τρόπους.

• Από το σύνολο είμαστε αναγκασμένοι να επιλέξουμε είτε περιττό είτε άρτιο πλήθος στοιχείων αναλόγως με το ποια από τα έχουν ήδη επιλεχθεί. Αυτό γίνεται με τρόπους.

Συνολικά λοιπόν έχουμε διαφορετικούς τρόπους επιλογής. Όμως μέσα σε αυτούς συμπεριλαμβάνεται και η επιλογή του κενού συνόλου η οποία απαγορεύεται. Επομένως μας μένουν διαφορετικοί τρόποι.