mathematica.gr • Συναρτησιακή εξίσωση

Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 22, 2022 12:14 am

από socrates

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y)}$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 28, 2025 12:29 am

από socrates

Επαναφορά!

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 11, 2025 7:48 pm

από Belias

'Εστω

P(x,y)

o ισχυρισμός f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y)

f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y)

.
$P(x,-f(x)) \implies$ η

είναι επί.
'Εστω $c \in \mathbb R$ τέτοιο ώστε f(c)=0

f(c)=0

, τότε $P(c,0) \implies c=-f(0)$ .
Iσχυρισμός: f(f(x) - f(0) - f(f(x))) = x - f(x)

f(f(x) - f(0) - f(f(x))) = x - f(x)

για κάθε

.
Απόδειξη: Σταθεροποιούμε πραγματικά

,

τέτοια ώστε f(t) = x - f(x)

f(t) = x - f(x)

.

P(f(x), t - f(x))

δίνει

f(f(x) + f(t)) = f(x) + f(f(f(x)) + t - f(x))

, άρα $f(f(f(x)) + t - f(x)) = 0 \implies f(f(x)) - f(x) + t = -f(0)$ . Έτσι t = f(x) - f(0) - f(f(x))

t = f(x) - f(0) - f(f(x))

, όπως θέλαμε.
Έπεται η

είναι 1-1 συγκρίνοντας για f(a)=f(b)

f(a)=f(b)

και βάζοντας όπου

τα

,

αντίστοιχα.
$P(0,y) \implies f(f(y))=f(y+f(0))$ . Άρα f(y)=y+c

f(y)=y+c

για κάθε $y \in \mathbb R$ που δουλεύει, όπου c=f(0)

c=f(0)

πραγματική σταθερά.