mathematica.gr

Στο επίπεδο δίνονται διαφορετικά σημεία. Τα σημεία αυτά ορίζουν ακριβώς ευθείες.
Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον από αυτά τα σημεία τα οποία είναι συνευθειακά.

Συνολικά έχουμε ζεύγη σημείων, δηλαδή άρτιο πλήθος.

Κάθε ευθεία με δύο σημεία συνεισφέρει στο πιο πάνω άθροισμα, ενώ κάθε ευθεία με τρία σημεία συνεισφέρει στο πιο πάνω άθροισμα. Αν είχαμε ευθείες με μόνο ή σημεία η κάθε μία, κάθε ευθεία θα είχε περιττή συνεισφορά στο άθροισμα, άρα το συνολικό άθροισμα θα ήταν περιττός, άτοπο.

Άρα υπάρχει ευθεία με τουλάχιστον τέσσερα σημεία όπως θέλαμε να δείξουμε.

Πηγή:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 19p9158719