mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 08, 2022 8:37 am**

: Τόπος κορυφής.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι :

και

. Αν οι κορυφές A , B

κινούνται

στις ευθείες y=x ,

αντίστοιχα , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τρίτης κορυφής

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 09, 2022 9:49 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 08, 2022 8:37 am Τόπος κορυφής.pngΣτο τρίγωνο είναι : και . Αν οι κορυφές κινούνται

στις ευθείες αντίστοιχα , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της τρίτης κορυφής .

Έστω $A\left( {2a,2a} \right)\,\,,\,\,B\left( {2b, - 2b} \right)\,\,$ τότε το μέσο

του

είναι : $M\left( {a + b,a - b} \right)$ .

Επειδή $AB = 6 \Rightarrow 2{a^2} + 2{b^2} = 9\,\,\left( 1 \right)$ . $\tan \theta = \dfrac{4}{3}$ και η ευθεία

έχει συντελεστή διεύθυνσης ${\lambda _1} = \dfrac{{a + b}}{{a - b}}$ . Έστω ${\lambda _2}$ ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας

, τότε από τον τύπο $\tan \theta = \dfrac{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}{{1 + {\lambda _1}{\lambda _2}}} \Rightarrow \dfrac{4}{3} = \dfrac{{{\lambda _2} - \dfrac{{a + b}}{{a - b}}}}{{1 + {\lambda _2}\dfrac{{a + b}}{{a - b}}}} \Rightarrow {\lambda _2} = \dfrac{{b - 7a}}{{a + 7b}}\,\,\left( 2 \right)$ .

: Τόπος κορυφής.png (28.03 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

Έτσι οι εξισώσεις των ευθειών : $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MC$ είναι : $\left\{ \begin{gathered} y - 2a = \frac{{b - 7a}}{{a + 7b}}\left( {x - 2a} \right) \hfill \\ y - a + b = \frac{{b - a}}{{b + a}}\left( {x - a - b} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα το σημείο

είναι : $C\left( {\dfrac{{7\left( {a + b} \right)}}{3},\dfrac{{b - a}}{3}} \right)\,\,\,\left( 3 \right)$ .

Δηλαδή για το σημείο του τόπου $C\left( {x,y} \right)$ ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{7\left( {a + 3} \right)}}{3} \hfill \\ y = \frac{{b - a}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{3}{{14}}\left( {x - 7y} \right) \hfill \\ b = \frac{3}{{14}}\left( {x + 7y} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ διώχνω τις παραμέτρους a,b

και προκύπτει: $\boxed{\frac{{{x^2}}}{{{7^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1}$ .

Εδώ ο Θανάσης που $99\%$ είναι και συνθέτης του θέματος έκανε διπλή εργασία .

Για να μην προκύψει εξίσωση που δεν έχουν διδαχθεί τα παιδιά , έστρεψε το σύστημα κατά γωνία , $\omega = - \dfrac{\pi }{2}$ .

Θανάση ,

mathematica.gr

Τόπος κορυφής

Τόπος κορυφής

Re: Τόπος κορυφής