mathematica.gr

Βρείτε σημείο στο εσωτερικό τυχόντος τετραπλεύρου , το οποίο αν συνδέσουμε

με τα μέσα των πλευρών του , αντίστοιχα , να είναι :

.

Πρόβλημα: Δίνεται μία γωνία. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εσωτερικών της σημείων που ο λόγος των αποστάσεων τους από τις πλευρές της είναι σταθερός.

Θεωρώ την απάντηση γνωστή. Είναι μια ημιευθεία με αρχή την κορυφή της.

Στο θέμα μας, Θεωρώ την ευθεία που τέμνει το τετράπλευρο και ο λόγος των αποστάσεων των σημείων της από τις πλευρές είναι ίσος με Ομοίως, Θεωρώ και την ευθεία που τέμνει το τετράπλευρο και ο λόγος των αποστάσεων των σημείων της από τις πλευρές είναι ίσος με

Η τομή των δύο αυτών ευθειών είναι το ζητούμενο σημείο.

Ας δούμε το γιατί. Τα τρίγωνα είναι ισοδύναμα για κάθε θέση του σημείου αφού το είναι μέσο.
Για να είναι τα ισοδύναμα πρέπει και αρκεί να είναι ισοδύναμα τα τρίγωνα και , οπότε ο λόγος των υψών τους από το είναι ίσος με το αντίστροφο του λόγου των βάσεων τους Δηλαδή ο λόγος των αποστάσεων του από τις είναι ίσος με κ.λπ.