mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 22, 2022 12:04 pm**

Για $x,y,z \geq 1$ να βρείτε την ελάχιστη τιμή της έκφρασης

$A=\dfrac{\sqrt{3x^4+y} + \sqrt{3y^4+z}+ \sqrt{3z^4+x}-3}{xy+yz+zx}$ .

(Για Θαλή Β' , Γ' Λυκείου)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2022 9:42 am**

Από ανισότητα των δυνάμεων έχουμε:

$\displaystyle \displaystyle{\left( \frac{x^4+x^4+x^4+y}{4}\right)^{1/2} \geqslant \frac{x^2+x^2+x^2+\sqrt{y}}{4} \implies \sqrt{3x^4+y} \geqslant \frac{3x^2+\sqrt{y}}{2} \geqslant \frac{(2x^2+1)+1}{2} = x^2+1}$

Άρα

$\displaystyle \frac{\sqrt{3x^4+y} + \sqrt{3y^4+z} + \sqrt{3z^4+x} - 3}{xy+yz+zx} \geqslant \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} \geqslant 1$

Η ισότητα λαμβάνεται αν και μόνο αν x=y=z=1

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2022 4:49 pm**

Ένας άλλος τρόπος να καταλλήξουμε στην ανισότητα

$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} \geqslant 1$

είναι να παρατηρήσουμε, ότι

$\sqrt{3x^4+y} \geq \sqrt{3x^4+1} = \sqrt{x^4+2x^4+1} \geq \sqrt{x^4+2x^2+1} = \sqrt{(x^2+1)^2} =x^2+1$

και αντίστοιχα για τις άλλες υπόριζες ποσότητες.

mathematica.gr

Έκφραση προς ελαχιστοποίηση

Έκφραση προς ελαχιστοποίηση

Re: Έκφραση προς ελαχιστοποίηση

Re: Έκφραση προς ελαχιστοποίηση