mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 26, 2022 7:09 pm**

: Ισότητα γινομένων.png (8.02 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Μόνον η βάση

του τριγώνου ABC

είναι γνωστή ( εδώ : BC=10

) και το μέσο της

.

Εντοπίστε σημείο

ως τρίτη κορυφή αλλά έτσι ώστε , να είναι : $AB\cdot AC= AM\cdot BC$ .

Μπορείτε να επιλέξτε κατάλληλο

, ώστε το τρίγωνο να έχει ακέραιο εμβαδόν ;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 27, 2022 8:22 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 26, 2022 7:09 pm Ισότητα γινομένων.pngΜόνον η βάση του τριγώνου είναι γνωστή ( εδώ : ) και το μέσο της .

Εντοπίστε σημείο ως τρίτη κορυφή αλλά έτσι ώστε , να είναι : $AB\cdot AC= AM\cdot BC$ .

Μπορείτε να επιλέξτε κατάλληλο , ώστε το τρίγωνο να έχει ακέραιο εμβαδόν ;

Μια άποψη ( με κάποια επιφύλαξη)

Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα. Θεωρώ τον περιγεγραμμένο κύκλο , $\left( {O,R} \right)$ του $\vartriangle ABC$ .

Φέρνω το ύψος AT = h

. Η σχέση : $AB \cdot AC = AM \cdot BC \Rightarrow bc = 10AM \Rightarrow 2Rh = 10AM \Leftrightarrow \boxed{\frac{{AM}}{h} = \frac{R}{5}}$

Δηλαδή τα ορθογώνια τρίγωνα , $TMA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MCO$ είναι όμοια και άρα AM//OC

.

Όμως επί πλέον , $\widehat {BAC} = \widehat O$ .

: ισότητα γινομένων.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Κατασκευή

Θεωρώ ισοσκελές ορθογώνιο $\vartriangle OBC$ με υποτείνουσα BC = 10

.

Γράφω τον κύκλο $\left( {O,OB} \right)$ και από το

παράλληλη στην ακτίνα

και τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$

Τα δύο αυτά σημεία αποτελούν δύο διαφορετικές λύσεις του προβλήματος .

Τώρα τα εμβαδά των $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DBC$ δεν εκφράζονται με ακέραιο αριθμό . ( Εκτός αν δοθεί άλλο κατάλληλο μήκος στο

)

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 27, 2022 8:28 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 26, 2022 7:09 pm Ισότητα γινομένων.pngΜόνον η βάση του τριγώνου είναι γνωστή ( εδώ : ) και το μέσο της .

Εντοπίστε σημείο ως τρίτη κορυφή αλλά έτσι ώστε , να είναι : $AB\cdot AC= AM\cdot BC$ .

Μπορείτε να επιλέξτε κατάλληλο , ώστε το τρίγωνο να έχει ακέραιο εμβαδόν ;

$b^{2}+c^{2}=2\mu _{a}^{2}+50,(1),b.c=a.\mu _{a},(2), (1),(2)\Rightarrow b+c=\sqrt{2}(\mu _{a}+5),$

Οπότε τα c,b

ειναι ρίζες της εξίσωσης $x^{2}-\sqrt{2}(\mu _{a}+5)x+10\mu _{a}=0,\Delta =2(\mu _{a}+5)\geq 0,c=5\sqrt{2},b=\sqrt{2}\mu _{a}$ H ισότητα για την διακρίνουσα ισχύει για ορθογώνιο τρίγωνο είναι απλό. Αρα το σημείο

κινείται στο κύκλο $(B,5\sqrt{2}),$ (μπλέ κύκλος).

Εστω

η διχοτόμος της γωνίας $\hat{CAM},\sqrt{2}=\dfrac{AC}{AM}=\dfrac{DC}{MD},MD=\dfrac{5}{\sqrt{2}+1}$ Αρα το σημείο

θα κινείται στον Απολλώνιο κύκλο ακτίνας $R=\dfrac{5(\sqrt{2}+1)}{2},$ ,κόκκινος κύκλος Συνεπώς η τομή του κόκκινου και μπλέ κυκλου προσδιορίζουν το σημείο

Η διερεύνηση για την τομή των κύκλων είναι γνωστή Τωρα βλέπω και ενα ερώτημα ακόμη, θα το δω και θα επανέλθω .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 27, 2022 11:21 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 26, 2022 7:09 pm Ισότητα γινομένων.pngΜόνον η βάση του τριγώνου είναι γνωστή ( εδώ : ) και το μέσο της .

Εντοπίστε σημείο ως τρίτη κορυφή αλλά έτσι ώστε , να είναι : $AB\cdot AC= AM\cdot BC$ .

Μπορείτε να επιλέξτε κατάλληλο , ώστε το τρίγωνο να έχει ακέραιο εμβαδόν ;

Το τρίγωνο του σχήματος ικανοποιεί τις προδιαγραφές του προβλήματος.

: Ισότητα γινομένων.png (9.7 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Στη συγκεκριμένη άσκηση είναι $\displaystyle AB = 5\sqrt 2 ,AC = 5,AM = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}.$

Το εμβαδόν στη γενική μορφή είναι $\displaystyle \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4},$ όπου φαίνεται ότι με κατάλληλη επιλογή του

μπορούμε να πετύχουμε ακέραιο εμβαδόν (άπειρες τιμές), π.x $\displaystyle a = 2k\sqrt[4]{7},$

θετικός ακέραιος.

Σε επόμενη ανάρτηση θα γράψω πώς κατέληξα σε αυτό το τρίγωνο.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 27, 2022 11:44 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 26, 2022 7:09 pm Ισότητα γινομένων.pngΜόνον η βάση του τριγώνου είναι γνωστή ( εδώ : ) και το μέσο της .

Εντοπίστε σημείο ως τρίτη κορυφή αλλά έτσι ώστε , να είναι : $AB\cdot AC= AM\cdot BC$ .

Μπορείτε να επιλέξτε κατάλληλο , ώστε το τρίγωνο να έχει ακέραιο εμβαδόν ;

Βάσει της ημετέρας κατασκευής ,το εμβαδόν δίδεται από : $\boxed{\left( {ABC} \right) = {a^2}\frac{{1 + \sqrt 3 }}{8}}$ έτσι π.χ. αν θέλω εμβαδόν $\left( {ABC} \right) = 14$ , επιλέγω $\boxed{a = \sqrt {56\sqrt 3 - 56} }$

Το «γιατί» αργότερα.

: ψάχνω για ακέραιο εμβαδόν.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

Φαίνεται υπάρχουν διαφορετικές κατασκευές με διαφορετικά αποτελέσματα .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 27, 2022 12:18 pm**

: Δείγμα.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Η αλήθεια είναι πως περίμενα λύση για τρίγωνο με βάση

, για να έχει βέβαιη απάντηση το δεύτερο ερώτημα .

Ακολουθώντας την εξαιρετική διαπραγμάτευση του Γιάννη , (όπου : $c=5\sqrt{2}$ ) , αρκεί το ύψος

,

να είναι ακέραιο , κάτι που επιτυγχάνεται με το παρατιθέμενο τρίγωνο , όπου : (ABC)=35

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 27, 2022 1:19 pm**

Στη γενική μορφή βρίσκω (όπως και ο Γιάννης) ότι $\displaystyle c = a\sqrt 2 ,b = AM\sqrt 2.$

: Ισότητα γινομένων.β.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

Στη συνέχεια με νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα AMB, ABC

διαπιστώνω ότι οι γωνίες $\widehat A, \theta$ είναι ίσες ή

παραπληρωματικές. Έστω ότι είναι ίσες (ανάλογα εργαζόμαστε αν είναι παραπληρωματικές). Άρα οι πράσινες

γωνίες είναι ίσες και ως εκ τούτου η

εφάπτεται στον περίκυκλο του AMC.