Μία τιμή της τρίγαμμα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 07, 2022 2:21 pm
Να δειχθεί ότι:
όπου
η σταθερά Catalan.
Παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθούν έτοιμοι τύποι. Το ιδανικό θα ήταν μόνο με series manipulation.
όπου
η σταθερά Catalan. Παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθούν έτοιμοι τύποι. Το ιδανικό θα ήταν μόνο με series manipulation.
![\displaystyle{\begin{aligned}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( 4n+1 \right )^2} &= 1 + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{13^2} + \cdots \\
&= \frac{1}{2} \bigg[ \left( 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots \right ) + \\
&\quad \quad \quad + \left (1-1 - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{6^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \right ) \bigg]\\
&=\frac{1}{2} \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left ( 2n+1 \right )^2} \right ) \\
&=\frac{1}{2} \left ( \zeta(2) - \frac{\zeta(2)}{4} + \beta(2) \right ) \\
&= \frac{1}{2} \left ( \frac{\pi^2}{8} + \mathcal{G} \right ) \\
&= \frac{\pi^2}{16} + \frac{\mathcal{G}}{2}
\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a6dd3e37ff88c5d063d0cdfb06200cc3.png "\displaystyle{\begin{aligned}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( 4n+1 \right )^2} &= 1 + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{13^2} + \cdots \\
&= \frac{1}{2} \bigg[ \left( 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots \right ) + \\
&\quad \quad \quad + \left (1-1 - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{6^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \right ) \bigg]\\
&=\frac{1}{2} \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left ( 2n+1 \right )^2} \right ) \\
&=\frac{1}{2} \left ( \zeta(2) - \frac{\zeta(2)}{4} + \beta(2) \right ) \\
&= \frac{1}{2} \left ( \frac{\pi^2}{8} + \mathcal{G} \right ) \\
&= \frac{\pi^2}{16} + \frac{\mathcal{G}}{2}
\end{aligned}}")