mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 13, 2022 9:11 am**

: Εξάσκηση του λογισμικού σας.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι

και : $\tan B=\Phi ^2$ . Στην προέκταση της

, θεωρούμε

σημείο

και σχεδιάζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο το τρίγωνο DCS

, όμοιο προς το ABC

.

Θέλουμε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{AS}{AD}$ . Μην διστάσετε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό σας

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 13, 2022 11:06 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 13, 2022 9:11 am Εξάσκηση του λογισμικού σας.pngΣτο τρίγωνο , είναι και : $\tan B=\Phi ^2$ . Στην προέκταση της , θεωρούμε

σημείο και σχεδιάζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο το τρίγωνο , όμοιο προς το .

Θέλουμε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{AS}{AD}$ . Μην διστάσετε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό σας

: Εξάσκηση λογισμικού.png (19.98 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

Το λογισμικό έδωσε : $\boxed{{{\left( {\frac{{AS}}{{AD}}} \right)}_{\max }} = 2}$ .

Αυτό δεν αποτελεί λύση μεν, αλλά μας δείχνει τι θα ψάξουμε . Αν έχω ώρα ( κοινωνικές υποχρεώσεις γάρ) θα το ψάξω .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 13, 2022 12:43 pm**

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 13, 2022 9:11 am Εξάσκηση του λογισμικού σας.pngΣτο τρίγωνο , είναι και : $\tan B=\Phi ^2$ . Στην προέκταση της , θεωρούμε

σημείο και σχεδιάζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο το τρίγωνο , όμοιο προς το .

Θέλουμε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{AS}{AD}$ . Μην διστάσετε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό σας

Προεργασία: $\displaystyle \tan \theta = {\Phi ^2} \Rightarrow {\cos ^2}\theta = \frac{{{a^2}}}{{4{b^2}}} = \frac{1}{{3(\Phi + 1)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{{b^2} = \frac{{{a^2}(3\sqrt 5 + 9)}}{8}}$ (1)

Επίσης, λόγω της ομοιότητας των τριγώνων ABC, DCS

είναι $\displaystyle DC = DS = \frac{{bx}}{a}$

: Λογισμικό.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Με νόμο συνημιτόνων διαδοχικά στα τρίγωνα ABS, ADC

έχω:

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle A{S^2} = {b^2} + {x^2} + 2ax + {a^2} - 2b(a + x)\frac{a}{{2b}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{A{S^2} = \frac{{8{x^2} + 8ax + {a^2}(3\sqrt 5 + 9)}}{8}}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle A{D^2} = {b^2} + \frac{{{b^2}{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{2{b^2}x}}{a}\cos (180^\circ - 2\theta )$ και επειδή $\displaystyle cos2\theta = \frac{{{a^2} - 2{b^2}}}{{2{b^2}}},$ αλλά και από

την (1)

είναι $\boxed{A{D^2} = \frac{{(3\sqrt 5 + 9){{(x - a)}^2} + 8ax}}{8}}$

Επομένως, $\displaystyle \frac{{AS}}{{AD}} = \sqrt {\frac{{8{x^2} + 8ax + {a^2}(3\sqrt 5 + 9)}}{{(3\sqrt 5 + 9){{(x - a)}^2} + 8ax}}},$ απ' όπου παίρνω $\boxed{\max \left( {\frac{{AS}}{{AD}}} \right) = 2}$

όταν $\boxed{x = \frac{{3a(\sqrt 5 - 1)}}{4}}$ (Ο υπολογισμός του μέγιστου είναι επώδυνος, αλλά γίνεται και χωρίς λογισμικό,

αφού ο αριθμητής της παραγώγου είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο).

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 13, 2022 6:41 pm**

: Εξάσκηση του λογισμικού σας.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Γιώργο , νομίζω ότι μπορούμε να "κλέψουμε" λίγο , αξιοποιώντας την "αγία" ομοιότητα .

Συγκεκριμένα επειδή : $\Phi^2=\Phi+1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ , δουλεύουμε στο παρατιθέμενο σχήμα ...

mathematica.gr

Εξάσκηση του λογισμικού σας

Εξάσκηση του λογισμικού σας

Re: Εξάσκηση του λογισμικού σας

Re: Εξάσκηση του λογισμικού σας

Re: Εξάσκηση του λογισμικού σας