mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 23, 2022 11:25 pm**

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ με $\hat{\mathrm{A}} = 90^\circ$ έχει υποτείνουσα $\mathrm{B} \Gamma = \alpha + \beta$ και κάθετες πλευρές $\mathrm{AB} = \alpha - \beta$ και $\mathrm{A}\Gamma = 2 \sqrt{\alpha \beta}$ ( $\alpha > \beta >0$ ). Στις πλευρές του τριγώνου κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω τα οποία έχουν εμβαδά $\mathrm{E}_1$ , $\mathrm{E}_2$ και $\mathrm{E}_3$ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι $\mathrm{E}_1 = \mathrm{E}_2 + \mathrm{E}_3$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (0, 0)-- (2, 0) -- (0, 3) -- cycle; \draw (2, 0) -- (3.58, 3.22) -- (0, 3) -- cycle; \draw (0, 0) -- (-2.56, 1.5) -- (0, 3) -- cycle; \draw (0, 0)-- (1, -1.72) -- (2, 0) -- cycle; \draw[color=gray,fill=gray,fill opacity=0.1] (0.42,0) -- (0.42,0.42) -- (0,0.42) -- (0,0) -- cycle; \draw (0, 0) node[below left]{A}; \draw (2, 0) node[below right]{B}; \draw (0, 3) node[above]{\textgreek{Γ}}; \draw (-1, 1.5) node[]{E2}; \draw (1, -0.7) node[]{E3}; \draw (2, 2.1) node[]{E1}; \end{tikzpicture}}$
Δε ξέρω πώς μπαίνουν οι δείκτες στο tikz στο . Μπορεί κάποιος να το φτιάξει;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:28 am**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Νοέμ 23, 2022 11:25 pm Ένα ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ με $\hat{\mathrm{A}} = 90^\circ$ έχει υποτείνουσα $\mathrm{B} \Gamma = \alpha + \beta$ και κάθετες πλευρές $\mathrm{AB} = \alpha - \beta$ και $\mathrm{A}\Gamma = 2 \sqrt{\alpha \beta}$ ( $\alpha > \beta >0$ ). Στις πλευρές του τριγώνου κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω τα οποία έχουν εμβαδά $\mathrm{E}_1$ , $\mathrm{E}_2$ και $\mathrm{E}_3$ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι $\mathrm{E}_1 = \mathrm{E}_2 + \mathrm{E}_3$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (0, 0)-- (2, 0) -- (0, 3) -- cycle; \draw (2, 0) -- (3.58, 3.22) -- (0, 3) -- cycle; \draw (0, 0) -- (-2.56, 1.5) -- (0, 3) -- cycle; \draw (0, 0)-- (1, -1.72) -- (2, 0) -- cycle; \draw[color=gray,fill=gray,fill opacity=0.1] (0.42,0) -- (0.42,0.42) -- (0,0.42) -- (0,0) -- cycle; \draw (0, 0) node[below left]{A}; \draw (2, 0) node[below right]{B}; \draw (0, 3) node[above]{\textgreek{Γ}}; \draw (-1, 1.5) node[]{E2}; \draw (1, -0.7) node[]{E3}; \draw (2, 2.1) node[]{E1}; \end{tikzpicture}}$
Δε ξέρω πώς μπαίνουν οι δείκτες στο tikz στο . Μπορεί κάποιος να το φτιάξει;

Oι παραστάσεις $a+b,\, a-b,\, 2\sqrt {ab}$ για τις πλευρές του τριγώνου είναι άσχετες με το πρόβλημα. Η ουσία είναι ότι ένα από τα πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος είναι οτι ισχύει η ισότητα εμβαδών E_1=E_2+E_3

όχι μόνο για τετράγωνα αλλά και για οποιαδήποτε όμοια σχήματα. Εδώ είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Η απόδειξη της γενίκευσης υπάρχει ήδη στα Στοιχεία του Ευκλείδη, Βιβλίο 6, Πρόταση 31 και επαναλαμβάνεται σε όλα τα βιβλία Γεωμετρίας. Δεν υπάρχει λόγος να την επαναλάβουμε εκ νέου. Πάντως η περίπτωση των ισοπλεύρων τριγώνων, ως ανωτέρω, είναι άμεση δεδομένου ότι τα εμβαδά τους είναι (σταθερά) $\times a^2$ κλπ.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:07 pm**

Μιχάλη,

χρειάστηκε να διαβάσω αρκετές φορές το μήνυμά σου για να καταλάβω τι λες.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:28 am Η ουσία είναι ότι ένα από τα πορίσματα του Πυθαγορείου Θεωρήματος είναι οτι ισχύει η ισότητα εμβαδών όχι μόνο για τετράγωνα αλλά και για οποιαδήποτε όμοια σχήματα. Εδώ είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Η απόδειξη της γενίκευσης υπάρχει ήδη στα Στοιχεία του Ευκλείδη, Βιβλίο 6, Πρόταση 31 και επαναλαμβάνεται σε όλα τα βιβλία Γεωμετρίας ....

Πολύ ενδιαφέρον . Έχουμε παραπομπή να το δω; Αργότερα θα γράψω τη λύση που δώσαμε χθες με τα παιδιά μιας και το έθεσα ως θέμα διαγωνίσματος πάνω στις ταυτότητες.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:24 pm**

Όσα κι αν είναι τα μήκη των πλευρών, έχουμε:

$\displaystyle B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = A{C^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} + A{B^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow {E_1} = {E_2} + {E_3}$

Όπως γράφει και ο Μιχάλης, δεν έχει νόημα να δοθούν τα μήκη των πλευρών. Νομίζω ότι θα ήταν καλύτερα να δοθεί απλώς ένα τρίγωνο ABC

με τα συγκεκριμένα μήκη πλευρών και, ως πρώτο ερώτημα, να ζητηθεί να δείξουν οι μαθητές ότι είναι ορθογώνιο, κλπ.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 24, 2022 1:10 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Πέμ Νοέμ 24, 2022 12:07 pm Έχουμε παραπομπή να το δω;

Υπάρχει (αρχαίο κείμενο) για παράδειγμα εδώ, προς το τέλος της σελίδας 167. Εκεί υπάρχει πλήρες το αρχαίο κείμενο των Στοιχείων.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 24, 2022 7:30 pm**

Ωραία ευχαριστώ. Πάντως η άσκηση είναι από το Τραγανίτη.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 24, 2022 9:06 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Πέμ Νοέμ 24, 2022 7:30 pm Ωραία ευχαριστώ. Πάντως η άσκηση είναι από το Τραγανίτη.

Δεν ξέρω το βιβλίο αλλά μήπως ο Τραγανίτης ΔΕΝ λέει

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Νοέμ 23, 2022 11:25 pm Ένα ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ με $\hat{\mathrm{A}} = 90^\circ$ ...

αλλά γράφει (σκέτο) "τρίγωνο"; Το ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο προκύπτει από τα μήκη που δίνει ο Τραγανίτης, και είναι μέρος της άσκησης. Αν όμως δηλωθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (που υποθέτω ότι είναι δική σου προσθήκη για να διευκολύνεις τους μαθητες σου), τότε τα υπόλοιπα περιττεύουν για να αποδειχθεί η ισότητα των εν λόγω εμβαδών.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 25, 2022 7:30 am**

Όχι Μιχάλη ,

: 1407481A-0108-4246-AF72-004AFAD29C64.jpeg (910.21 KiB) Προβλήθηκε 1160 φορές

Είναι το δεύτερο θέμα από το τρίτο διαγώνισμα του βιβλίου πάνω στις ταυτότητες .

mathematica.gr

Ισότητα εμβαδών

Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών