mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 13, 2022 1:02 pm**

Καλημέρα!

Αυτή η άσκηση έχει λυθεί από τους μαθητές μου στο φροντιστήριο (μαθητές που προετοιμάζω για διαγωνισμούς)

Την παραθέτω.

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση $\displaystyle k+\frac{m+n}{mn+1}=\frac{10006}{3001}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 13, 2022 1:39 pm**

Αν

τότε $\displaystyle k+1 = \frac{10006}{3001}$ που είναι αδύνατη. Ομοίως η εξίσωση είναι αδύνατη αν n=1

. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι m,n > 1

.

Έχουμε mn+1-(m+n) = (m-1)(n-1) > 0

. Άρα $\displaystyle 0 < \frac{m+n}{mn+1} < 1.$ Γράφοντας $\displaystyle \frac{10006}{3001} = 3 + \frac{1005}{3001}$ παίρνουμε k = 3

και $\displaystyle \frac{m+n}{mn+1} = \frac{1003}{3001}$

$\displaystyle \frac{m+n}{mn+1} = \frac{1003}{3001} > \frac{1}{3} \implies mn - 3m - 3n + 1 < 0 \implies (m-3)(n-3) < 8$

Αν $m,n \geqslant 6$ καταλήγουμε σε άτοπο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας $m \geqslant n$ , οπότε $n \leqslant 5$ .

Αν n=2

τότε $\displaystyle \frac{m+2}{2m+1} =\frac{1003}{3001} \implies 995m + 4999 = 0,$ άτοπο
Αν n=3

τότε $\displaystyle \frac{m+3}{3m+1} =\frac{1003}{3001} \implies 8m = 8000 \implies m=1000$ άτοπο
Αν n=4

τότε $\displaystyle \frac{m+4}{4m+1} =\frac{1003}{3001} \implies 1011m = 11001,$ άτοπο
Αν n=5

τότε $\displaystyle \frac{m+5}{5m+1} =\frac{1003}{3001} \implies 2014m = 14002,$ άτοπο

Άρα μόνες λύσεις οι (k,m,n) = (3,1000,3)

και η συμμετρική της (3,3,1000)

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 13, 2022 4:00 pm**

Καλησπέρα!

Αυτή ακριβώς είναι η λύση που είχα κατά νου και ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το θέμα που πρότεινα, είναι μεγάλη μου τιμή!!

mathematica.gr

Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Re: Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Re: Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους