mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 14, 2022 12:20 pm**

: Επαφή και κατασκευή.png (15.58 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές

Από σημείο

, εξωτερικό του κύκλου (O , r)

, φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA , PB

, επί των οποίων

ορίσαμε σημεία T , S

αντίστοιχα , ώστε : $AT= \dfrac{AP}{4}$ και $BS= \dfrac{BP}{3}$ . Αν η

εφάπτεται του κύκλου :

α) Υπολογίστε το $\cos\theta$ .... β) Βρείτε έναν τρόπο εντοπισμού - ει δυνατόν με κατασκευή - του σημείου

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 14, 2022 3:56 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 14, 2022 12:20 pm Επαφή και κατασκευή.pngΑπό σημείο , εξωτερικό του κύκλου , φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα , επί των οποίων

ορίσαμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : $AT= \dfrac{AP}{4}$ και $BS= \dfrac{BP}{3}$ . Αν η εφάπτεται του κύκλου :

α) Υπολογίστε το $\cos\theta$ .... β) Βρείτε έναν τρόπο εντοπισμού - ει δυνατόν με κατασκευή - του σημείου .

Θέτω

οπότε

: Επαφή και κατασκευή.png (19.23 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

α) Με νόμο συνημιτόνου στο PST

εύκολα βρίσκω $\boxed{\cos \theta=\frac{2}{3}}$

β) Με τον τύπο του Ήρωνα, $\displaystyle (PST) = 12{x^2}\sqrt 5.$ Αλλά, ο κύκλος (O , r)

είναι ο

παρεγγεγραμμένος

του τριγώνου PST,

άρα $\displaystyle (PST) = (s - 7x)r = 5xr = 12{x^2}\sqrt 5 \Leftrightarrow x = \frac{{5r}}{{12\sqrt 5 }}.$

Με Πυθαγόρειο τώρα στο OAP

είναι $\boxed{OP=r\sqrt 6}$ απ' όπου εντοπίζεται (κατασκευαστικά) το σημείο

Αλλιώς για το β)

$\displaystyle \sin \frac{\theta }{2} = \frac{r}{{OP}} \Leftrightarrow OP = \frac{r}{{\sqrt {\frac{{1 - \cos \theta }}{2}} }} = r\sqrt 6$

Επεξεργασία: Διάβασα λάθος την εκφώνηση και αντέστρεψα τα μικρά τμήματα Στην ουσία της άσκησης πάντως, δεν αλλάζει κάτι.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 14, 2022 6:37 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 14, 2022 12:20 pm Επαφή και κατασκευή.pngΑπό σημείο , εξωτερικό του κύκλου , φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα , επί των οποίων

ορίσαμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : $AT= \dfrac{AP}{4}$ και $BS= \dfrac{BP}{3}$ . Αν η εφάπτεται του κύκλου :

α) Υπολογίστε το $\cos\theta$ .... β) Βρείτε έναν τρόπο εντοπισμού - ει δυνατόν με κατασκευή - του σημείου .

Με όμοιο τρόπο όπως ο Γιώργος βρίσκω , $\cos \theta = \dfrac{2}{3}\,\,\left( 1 \right)$ . Η γωνία , $\omega = \dfrac{\theta }{2}$ είναι οξεία , έτσι $\sin \omega = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \theta }}{2}} = \dfrac{1}{6}$ . Συνεπώς $OP = r\sqrt 6$ .

Κατασκευή

Αριστερά και δεξιά του κέντρου

και πάνω στην ευθεία της διαμέτρου έστω τα σημεία $G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,J$ με $OG = 2r\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OJ = 3r$ .

: Επαφή και κατασκευή.png (26.57 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

Η κάθετη στο

επί την

τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

. Ο κύκλος $\left( {O,OM} \right)$ τέμνει την $OJ\,\,\sigma \tau o\,\,P$ .

Απόδειξη

$O{M^2} = OG \cdot OJ = 2r \cdot 3r = 6{r^2} \Rightarrow OP= OM = r\sqrt 6$

mathematica.gr

Επαφή και κατασκευή

Επαφή και κατασκευή

Re: Επαφή και κατασκευή

Re: Επαφή και κατασκευή