mathematica.gr

Δίνονται τέσσερις ίσες σφαίρες ακτίνας ίσης με οι οποίες εφάπτονται στο οριζόντιο επίπεδο
στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς ίσης με , όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:
Να βρεθεί το κέντρο της σφαίρας που εφάπτεται στις ανωτέρω τέσσερις σφαίρες και να έχει όγκο
ίσο με το διπλάσιο όγκο των τεσσάρων αυτών σφαιρών, όπως φαίνεται επίσης στο ακόλουθο σχήμα:
Ακόμα: Μπορεί να υπάρξει τέτοια σφαίρα που να έχει όγκο ίσο με το άθροισμα των τεσσάρων
αρχικών;

KDORTSI έγραψε: Δευ Δεκ 26, 2022 2:09 pm Δίνονται τέσσερις ίσες σφαίρες ακτίνας ίσης με οι οποίες εφάπτονται στο οριζόντιο επίπεδο
στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς ίσης με , όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

Κέντρο σφαίρας 1.png
Να βρεθεί το κέντρο της σφαίρας που εφάπτεται στις ανωτέρω τέσσερις σφαίρες και να έχει όγκο
ίσο με το διπλάσιο όγκο των τεσσάρων αυτών σφαιρών, όπως φαίνεται επίσης στο ακόλουθο σχήμα:

Κέντρο σφαίρας 2.png

Ακόμα: Μπορεί να υπάρξει τέτοια σφαίρα που να έχει όγκο ίσο με το άθροισμα των τεσσάρων
αρχικών;

Έστω τα κέντρα των τεσσάρων σφαιρών και το κέντρο της σφαίρας που εφάπτεται σε αυτά. Το σημείο , το καθένα από τα σημεία επαφής των τεσσάρων σφαιρών και το κέντρο τους είναι συνευθειακά. Το σημείο ισαπέχει από τα σημεία άρα θα βρίσκεται στην τομή των μεσοκάθετων επιπέδων των τμημάτων του τετραγώνου . Δηλαδή θα βρίσκεται στην κάθετη ευθεία προς το επίπεδο του τετράγωνου που διέρχεται από το κέντρο του, έστω .

Η σφαίρα κέντρου έχει οχταλάσιο όγκο από μια από τις τέσσερεις ίσες σφαίρες, άρα η ακτίνα της θα είναι διπλάσια αυτών, δηλαδή ίση με . Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο (στο ) τρίγωνο που oρίζουν τα σημεία έχουμε:



Tο επίπεδο που ορίζουν τα κέντρα των τεσσάρων σφαιρών απέχει απόσταση από το οριζόντιο επίπεδο, οπότε το κέντρο της ζητούμενης σφαίρας θα απέχει απόσταση από το οριζόντιο επέπεδο και θα βρίσκεται στην κάθετη ευθεία, που διέρχεται από το κέντρο του τετραγώνου των σημείων επαφής με το οριζόντιο επίπεδο.

Τέτοια σφαίρα υπάρχει πάντα αρκεί η ακτίνα της να είναι μεγαλύτερη από . Δηλαδή να είναι μεγαλύτερη από το "κενό" που αφήνουν οι τέσσερεις σφαίρες στην τομή τους με το τετράγωνο . Ή αλλιώς να εξασφαλίζεται η ύπαρξη του ορθογώνιου τριγώνου .

Στην περίπτωση που η σφαίρα έχει όγκο ίσο με το άθροισμα των τεσσάρων αρχικών η ακτίνα της θα είναι μεγαλύτερη από , οπότε μπορεί να υπάρξει τέτοια σφαίρα.

Περιττό

orestisgotsis έγραψε: Δευ Ιαν 02, 2023 9:23 pm

KDORTSI έγραψε: Δευ Δεκ 26, 2022 2:09 pm Δίνονται τέσσερις ίσες σφαίρες ακτίνας ίσης με οι οποίες εφάπτονται στο οριζόντιο επίπεδο
στις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς ίσης με , όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

Κέντρο σφαίρας 1.png
Να βρεθεί το κέντρο της σφαίρας που εφάπτεται στις ανωτέρω τέσσερις σφαίρες και να έχει όγκο
ίσο με το διπλάσιο όγκο των τεσσάρων αυτών σφαιρών, όπως φαίνεται επίσης στο ακόλουθο σχήμα:

Κέντρο σφαίρας 2.png

Ακόμα: Μπορεί να υπάρξει τέτοια σφαίρα που να έχει όγκο ίσο με το άθροισμα των τεσσάρων
αρχικών;

.................................................................................
Για τη δεύτερη περίπτωση, αν r είναι η ακτίνα της ζητούμενης σφαίρας, έχουμε:
, αλλά πώς κατασκευάζεται ;

Ορέστη και Αλέξανδρε καλημέρα...


Ίσως στην αρχική μου διατύπωση δεν ήμουνα και πολύ σαφής λέγοντας:

"Να βρεθεί το κέντρο της σφαίρας"

"Ακόμα: Μπορεί να υπάρξει τέτοια σφαίρα που να έχει όγκο ίσο με το άθροισμα των τεσσάρων
αρχικών;"

Η έκφραση "να βρεθεί" στην πρώτη περίπτωση, ασφαλώς και σημαίνει "να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη" όπως είναι από την αρχαιότητα καθιερωμένο. Έτσι στο πρώτο ερώτημα σωστά λύθηκε.

Στο δεύτερο ερώτημα: "μπορεί να υπάρξει τέτοια σφαίρα" η απάντηση είναι ναι, αλλά όχι κατασκευάσιμη, αφού ο αριθμός δεν είναι κατασκευάσιμος, όπως και στην περίπτωση του Δηλίου Προβλήματος ο αριθμός .
Θυμίζω ότι ο διπλασιασμός του κύβου είναι "άλυτο" πρόβλημα όπως και ο τριπλασιασμός, το τετραπλασιασμός αυτού αλλά όχι ο οκταπλασιασμός κλπ
Ακόμα ο διπλασιασμός ενός παραλληλεπιπέδου είναι δυνατός με κανόνα και διαβήτη(διπλασιάζοντας τη μια πλευρά του) όχι όμως ο
διπλασιασμός με τον όρο να είναι όμοιο με το αρχικό.

Κώστας Δόρτσιος