mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 05, 2023 12:04 pm**

Δίνεται ένας φυσικός αριιθμός

, που διαρείται με το

, του οποίου διαλέχθηκαν δυο διαφορετικοί περιττοί φυσικοί διαιρέτες

και

. Αν

, να βρείτε το $\dfrac{a}{b}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 16, 2023 5:26 pm**

Είναι $\displaystyle a=\frac{N}{m}$ και $\displaystyle b=\frac{N}{n},$ για κάποιους φυσικούς αριθμούς m,n.

Είναι:

$\displaystyle \frac{25}{m}+\frac{33}{n}=1\Leftrightarrow m=\frac{25n}{n-33}\in \mathbb{N}^{\ast }$

Όμως, είναι και $\displaystyle \frac{25n-825}{n-33}\in \mathbb{N}^{\ast }$

Άρα, θα πρέπει να είναι και $\displaystyle \frac{825}{n-33}\in \mathbb{N}^{\ast }$

Όμως , ο

διαιρείται με το 16,

άρα είναι άρτιος και αφού a,b

περιττοί, θα είναι m,n

άρτιοι.

Ο λόγος που θέλουμε είναι $\displaystyle \boxed{\frac{a}{b}=\frac{n}{m}=\frac{n-33}{25}}$

Οι τιμές που παίρνει το

είναι $\left \{ 34,36,38,44,48,58,66,88,108,198,308,858 \right \}$ . Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Αν n=34,

τότε

και $34b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Aν 36,

τότε $36b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .4,$ άτοπο!

Αν n=38,

τότε

και $38b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Αν n=44,

τότε $44b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .4,$ άτοπο!

Αν n=48,

τότε $48b=\pi o\lambda \lambda .16,$ που ισχύει ακόμα και για περιττό

οπότε είμαστε οκ!

Αν n=58,

τότε

και $58b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Aν n=66,

τότε

και $66b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Αν n=88,

τότε $88b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .2,$ άτοπο!

Αν n=108,

τότε $108b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .4,$ άτοπο!

Αν n=198,

τότε $198b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Αν n=308,

τότε $308b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .4,$ άτοπο!

Αν n=858,

τότε

και $858b=\pi o\lambda \lambda .16\Leftrightarrow b=\pi o\lambda \lambda .8,$ άτοπο!

Οπότε έχουμε μόνη λύση n=48

και άρα $\displaystyle \boxed{\frac{a}{b}=\frac{3}{5}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 16, 2023 9:48 pm**

Henri van Aubel έγραψε: Δευ Ιαν 16, 2023 5:26 pm
Οι τιμές που παίρνει το είναι $\left \{ 34,38,58,66,198,858 \right \}$ . Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Λείπουν τιμές ή πρέπει να εξηγηθεί πως προέκυψαν οι υπάρχουσες.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 17, 2023 2:45 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Ιαν 16, 2023 9:48 pm
Henri van Aubel έγραψε: Δευ Ιαν 16, 2023 5:26 pm
Οι τιμές που παίρνει το είναι $\left \{ 34,38,58,66,198,858 \right \}$ . Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Λείπουν τιμές ή πρέπει να εξηγηθεί πως προέκυψαν οι υπάρχουσες.

Ωωω, σωστά!