mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2023 1:18 pm**

Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο

, ο αριθμός 10k+2023

δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων (x, y)

που ικανοποιούν
$\displaystyle 3x^2 - 15x - yx^2 + 5xy - 24 = 0\,.$

Πρόβλημα 3. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\varGamma$ και το ύψος του $A\varDelta$ . Το σημείο

είναι το συμμετρικό του $\varDelta$ ως προς την $A\varGamma$ και η κάθετη στην

από το σημείο

τέμνει την $A\varGamma$ στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $KB\varGamma$ είναι ισοσκελές.

Πρόβλημα 4. Δίνονται 100

διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle 1 \leqslant a_1 < a_2 < \cdots <a_{100} \leqslant 400\,.$
Για $i = 1, 2, \ldots, 99$ ορίζουμε $d_i = a_{i+1} - a_i$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός

τέτοιος ώστε, για τουλάχιστον

διαφορετικές τιμές του

, να ισχύει ότι d_i = n

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2023 1:31 pm**

Ρε παιδιά, το δεύτερο είναι της πλάκας!

Βγαίνει με παραγοντοποίηση. Συγκεκριμένα, γίνεται $x\left ( 3-y \right )\left ( x-5 \right )=24,...$ κ.λ.π Επανέρχομαι σε λίγο με τη λύση της γεωμετρίας.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2023 1:46 pm**

Για τη γεωμετρία.

Το τετράπλευρο ADCE

είναι χαρταετός και άρα $\angle AEC=\angle ADC=90^\circ=\angle BPE$
Συνεπώς PB//EC

και άρα $\angle KBC=180^\circ-2\angle C$
Οπότε είναι $\angle BKC=2\angle C-\angle BCK=2\angle C-\angle C=\angle BCK$
Άρα BK=BC

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2023 3:48 pm**

Demetres έγραψε: Πέμ Φεβ 02, 2023 1:18 pm

Πρόβλημα 4. Δίνονται διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle 1 \leqslant a_1 < a_2 < \cdots <a_{100} \leqslant 400\,.$
Για $i = 1, 2, \ldots, 99$ ορίζουμε $d_i = a_{i+1} - a_i$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός τέτοιος ώστε, για τουλάχιστον διαφορετικές τιμές του , να ισχύει ότι .

Ας υποθέσουμε πως δεν υπάρχει τέτοις ακέραιος

. Τότε
$\displaystyle{d_{1} + d_{2} + ... + d_{99} \geq 14(1 + 2 + 3 +... + 7) + 8 = 400 \Leftrightarrow a_{100} - a_{1} \geq 400 \Leftrightarrow a_{100} \geq 400 + a_{1} \geq 401}$ , άτοπο

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 02, 2023 7:47 pm**

Το πρόβλημα 1 τελειώνει κατευθείαν με mod 5

, καθώς

, άτοπο διότι το

δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο mod 5

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2023 12:10 am**

Σχετικά με το επίπεδο των θεμάτων για την επιλογή μαθητών/τριών για ομάδες διεθνών μαθηματικών διαγωνισμών.

Η Κυπριακή Δημοκρατία έχει μόνον 45.000 μαθητές στη Μέση εκπαίδευση.
Από αυτούς οι 12.000 δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική, (αυτό είναι δεδομένο του επιπέδου της γενικής τους εκπαίδευσης).
Από τα στοιχεία αυτά προκύπτει ότι η επιλογή για τις BMO, BJMO κλπ. γίνεται από έναν πολύ περιορισμένο σύνολο μαθητών.
Τα δεδομένα αυτά τα γνωρίζουν πολύ καλύτερα από όλους (προφανώς γνωρίζουν και άλλα δεδομένα) οι επιτροπές των θεματοδοτών της ΚΥ.Μ.Ε.
Συνεπώς, χωρίς πληροφορίες καλό είναι να μην σχολιάζουμε τέτοιου είδους θέματα.
Εξάλλου, μαθηματικούς π.χ. σαν τον Δημήτρη Χριστοφίδη πολλές "μεγάλες" χώρες θα ήθελαν να έχουν για την εκπαίδευσή τους.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 03, 2023 12:16 am**

Συμφωνώ απόλυτα! Άλλωστε υπάρχουν και άλλοι 3 διαγωνισμοί ακόμη, στους οποίους μπορεί να ανέβει το επίπεδο δυσκολίας.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 23, 2023 2:54 pm**

Henri van Aubel έγραψε: Πέμ Φεβ 02, 2023 1:31 pm Ρε παιδιά, το δεύτερο είναι της πλάκας! Βγαίνει με παραγοντοποίηση. Συγκεκριμένα, γίνεται $x\left ( 3-y \right )\left ( x-5

Εντάξει αλλά είναι ο πρώτος μας διαγωνισμός και λαμβάνουν μέρος και μαθητές της Α' Γυμνασίου για τους οποίους μπορεί να μην είναι τόσο εύκολο.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 23, 2023 3:05 pm**

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Παρ Φεβ 03, 2023 12:10 am Η Κυπριακή Δημοκρατία έχει μόνον 45.000 μαθητές στη Μέση εκπαίδευση.
Από αυτούς οι 12.000 δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική, (αυτό είναι δεδομένο του επιπέδου της γενικής τους εκπαίδευσης).

Δεν γνωρίζω νούμερα αλλά λαμβάνουμε υπόψη και τους μαθητές που δεν έχουν μητρική γλώσσα την ελληνική. Σε όλους μας τους διαγωνισμούς δίνουμε και αγγλική μετάφραση. Μάλιστα πριν δυο χρόνια είχαμε και μαθήτρια που μας εκπροσώπησε στην JBMO και η οποία δεν μιλάει ελληνικά.

mathematica.gr

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για JBMO