mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 2:56 pm**

Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της παρακάτω εξίσωσης, συμπεριλαμβανομένου όλων των σημαντικών στοιχείων της (ρίζες, ασύμπτωτες κλπ):

$\begin{equation} f(x) = \frac{2x^3 + x^2 - 7x - 4}{x^2 - 4} \end{equation}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 3:08 pm**

Ζητάς βοήθεια ή απλά θέτεις την άσκηση ;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 3:09 pm**

Kαλησπέρα σας, ζητάω βοήθεια..

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 3:10 pm**

Οκ , τι έχεις προσπαθήσει ; Πχ βρήκες τη πρώτη και δεύτερη παράγωγο;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 3:11 pm**

Wizard98 έγραψε: Σάβ Φεβ 04, 2023 2:56 pm Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της παρακάτω εξίσωσης, συμπεριλαμβανομένου όλων των σημαντικών στοιχείων της (ρίζες, ασύμπτωτες κλπ):

$\begin{equation} f(x) = \frac{2x^3 + x^2 - 7x - 4}{x^2 - 4} \end{equation}$

.
H άσκηση είναι θέμα απόλυτης ρουτίνας που υπάρχει παρόμοια σε όλα ανεξαιρέτως τα σχολικά και φροντιστηριακά βιβλία Μαθηματικών Λυκείου. Μόνο τα νούμερα αλλάζουν.

Θα σου συνιστούσα να την έλυνες μόνος σου. Δεν έχει νόημα να γράφουμε εδώ τα χιλιοειπωμένα. Αν κάπου κολλήσεις και θέλεις βοήθεια, πες μας το σημείο που σε δυσκολεύει για να σου δώσουμε υπόδειξη.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 3:26 pm**

Βρήκα την πρώτη παράγωγο της οποίας οι ρίζες βγήκαν ως εξής:

$x_1,_2=\frac{17^+_-\sqrt{65}}{4}$

Ο μόνος τρόπος που έχω καταφέρει να να προσεγγίσω την γραφική παράσταση είναι μέσω των ασύμπτωτων. (Κατακόρυφες στο ^+_-2

, και πλάγια στο

).

Επίσης, σκέφτηκα να θέσω $g(x)=f(x)-1=\frac{2x^3-7x}{x^2-4}$ , να βρω τη γραφική παράσταση αυτής, και έπειτα να τη μετατοπίσω κατά 1, αλλά δεν εχω καταλήξει κάπου ούτε έτσι...

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 3:31 pm**

Φίλε μου ,

η χάραξη μιας γραφικής παράστασης συνάρτησης έχει κάποια βήματα. Πρέπει να βρεις τα ακρότατα και τη μονοτονία της συνάρτησης πρώτα. Στη συνέχεια να βρεις τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

Οι ασύμπτωτες ειναι στο τέλος αλλα χαράζονται πρώτες για να σε βοηθήσουν να οριοθετήσεις το γράφημα.

Το σχολικό βιβλίο έχει εφαρμογή λυμενη μελέτη και χάραξη. Δες πρώτα το λυμένο αυτο παράδειγμα,δώσε άλλη μια προσπάθεια στην άσκηση και αν δεις ότι καπου δυσκολεύεσαι εδω είμαστε .

Τ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 5:29 pm**

Wizard98 έγραψε: Σάβ Φεβ 04, 2023 3:26 pm Βρήκα την πρώτη παράγωγο της οποίας οι ρίζες βγήκαν ως εξής:

$x_1,_2=\frac{17^+_-\sqrt{65}}{4}$

Ο μόνος τρόπος που έχω καταφέρει να να προσεγγίσω την γραφική παράσταση είναι μέσω των ασύμπτωτων. (Κατακόρυφες στο , και πλάγια στο ).

Επίσης, σκέφτηκα να θέσω $g(x)=f(x)-1=\frac{2x^3-7x}{x^2-4}$ , να βρω τη γραφική παράσταση αυτής, και έπειτα να τη μετατοπίσω κατά 1, αλλά δεν εχω καταλήξει κάπου ούτε έτσι...

Έχουν γίνει λάθη εδώ!

Αυτά που γράφεις ως ρίζες της παραγώγου είναι τα $\displaystyle {x_1}^2,{x_2}^2$ και η πλάγια ασύμπτωτη δεν είναι στο

(πώς θα μπορούσε άλλωστε να είναι πλάγια;!) Η πλάγια ασύμπτωτη είναι y=2x+1.

Ανεξάρτητα από τα λάθη πάντως, το θέμα δεν προσφέρεται για εξάσκηση στη γραφική παράσταση, γιατί τα νούμερα δεν

είναι βατά ώστε να σε βοηθήσουν. Οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων είναι $\displaystyle {x_{1,2}} = \frac{1}{2}\sqrt {17 \pm \sqrt {65} }$ και δεν συζητάω

καν για τα σημεία μηδενισμού της συνάρτησης, ούτε για την κυρτότητα. Η άσκηση είναι εντελώς ατυχής!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 5:36 pm**

Έχετε απόλυτο δίκιο, τα έγραψα λάθος πάνω. Κι εγώ στο συμπέρασμα αυτό είχα καταλήξει. Θεώρησα ότι θα υπάρχει κάποιος τρόπος που δεν αντιλαμβάνομαι για να γίνει διαφορετικά η άσκηση. Ευχαριστώ!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 5:52 pm**

Wizard98 έγραψε: Σάβ Φεβ 04, 2023 5:36 pm Έχετε απόλυτο δίκιο, τα έγραψα λάθος πάνω. Κι εγώ στο συμπέρασμα αυτό είχα καταλήξει. Θεώρησα ότι θα υπάρχει κάποιος τρόπος που δεν αντιλαμβάνομαι για να γίνει διαφορετικά η άσκηση. Ευχαριστώ!

Αν θέλεις να εξασκηθείς σου δίνω την $\displaystyle f(x) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}}$ να βρεις μονοτονία-τοπικά ακρότατα,

κυρτότητα-σημεία καμπής, ασύμπτωτες και να κάνεις τη γραφική παράσταση.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 6:01 pm**

Χαίρεται, ευχαριστώ, θα την κοιτάξω.

Για να καταλάβετε, έδωσα πανελλήνιες το 17', αποφοίτησα από το πρώτο πανεπιστήμιο και σύντομα θα ξεκινήσω ένα δεύτερο πτυχίο στο εξωτερικό, το οποίο λειτουργεί με κατατακτήριες μέρος των οποίων είναι τα μαθηματικά 3ης Λυκείου Ελλάδος, υλικό που είχα καιρό να πιάσω στα χέρια μου.

Στις 8 Φλεβάρη λοιπόν είναι προγραμματισμένο ένα webinar στο οποίο θα συζητηθούν 7 ασκήσεις, μια εκ των οποίων η παραπάνω. Έχω προσπαθήσει τα πάντα για να κάνω τη γραφική της παράσταση, αλλά δεν βγαίνει με τέτοιους αριθμούς. Έχω καταλήξει λοιπόν στο ότι, είτε θέλει κάτι το οποίο δεν γνωρίζω η κάποιο "κολπάκι" που δε μπορώ να δω. Ή έχει γίνει τυπογραφικό και ο σταθερός όρος του αριθμητή είναι

αντί για

.

Για αυτό και ζήτησα βοήθεια εδώ.

Όπως και να έχει, ευχαριστώ για το χρόνο σας.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 6:22 pm**

Μια υπόθεση θα μπορούσε να είναι , ότι πρόκειται για την : $f(x)=\dfrac{2x^3+x^2-8x-4}{x^2-4}$ ,

της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία y=2x+1

, με δύο "τρύπες" ...

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 04, 2023 8:36 pm**

Wizard98 έγραψε: Σάβ Φεβ 04, 2023 2:56 pm Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της παρακάτω εξίσωσης, συμπεριλαμβανομένου όλων των σημαντικών στοιχείων της (ρίζες, ασύμπτωτες κλπ):

$\begin{equation} f(x) = \frac{2x^3 + x^2 - 7x - 4}{x^2 - 4} \end{equation}$

Θα τη σχεδιάσεις όπως όλοι οι μαθητές ανά τον κόσμο (εκτός Ελλάδας) σχεδιάζουν ρητές συναρτήσεις και δεν ξέρουν CALCULUS.

Βρίσκεις ρίζες παρονομαστή. Ελέγχεις αν αυτές μηδενίζουν τον αριθμητή. Αν όχι έχεις κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Διαφορετικά έχεις τρύπα στη γραφική παράσταση. Κάνεις την διαίρεση πολυωνύμων απ'όπου βρίσκεις $f(x)=Ax+B+\dfrac{P(x)}{Q(x)}$

με degP(x)<degQ(x).

H

είναι η ασύμπτωτή σου. Βρίσκεις x-y-intercepts

και ξεκινάς τη

σχεδίαση βάζοντας πρώτα κάτω τις ασύμπτωτες.

Ενδεχομένως να χρειαστείς να υπολογίσεις κάποιες ενδεικτικές τιμές της συνάρτησης για να δεις σε ποιες περιοχές από αυτές

που ορίζουν οι ασύμπτωτες βρίσκεται το graph.

Υ.Γ. Εδώ η συνάρτησή σου έχει τη δυσκολία στο να βρεις τα x-intercepts.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 05, 2023 9:20 pm**

@Wizard98 να ζητήσω συγνώμη γιατί σε πέρασα για μαθητή. Αυτός είναι και ο λόγος που σε παρέπεμψα στο σχολικό βιβλίο. Αν ήξερα το υπόβραθό σου θα απαντούσα διαφορετικά.

: Screenshot 2023-02-05 at 21-19-14 asymptotes (2 x^3 x^2-7x-4)_(x^2-4) - Wolfram Alpha.png (14.42 KiB) Προβλήθηκε 2294 φορές

Η παραπάνω γραφική επαληθεύει τις παρατηρήσεις των προλαλησάντων. Το καίριο κομμάτι είναι να βρεθούν οι οποίες δε βρίσκονται αλγεβρικά. Το Bolzano μας δίδει την ύπαρξη ριζών. Η πιο κατάλληλη μέθοδος για αυτή τη περίπτωση είναι του Λάμπρου.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 06, 2023 12:32 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Φεβ 05, 2023 9:20 pm @Wizard98 να ζητήσω συγνώμη γιατί σε πέρασα για μαθητή. Αυτός είναι και ο λόγος που σε παρέπεμψα στο σχολικό βιβλίο. Αν ήξερα το υπόβραθό σου θα απαντούσα διαφορετικά.
Η παραπάνω γραφική επαληθεύει τις παρατηρήσεις των προλαλησάντων. Το καίριο κομμάτι είναι να βρεθούν οι οποίες δε βρίσκονται αλγεβρικά. Το Bolzano μας δίδει την ύπαρξη ριζών. Η πιο κατάλληλη μέθοδος για αυτή τη περίπτωση είναι του Λάμπρου.

Καλημέρα....

Απόστολε επίτρεψε μου να πω δυο λόγια για το γράφημα αυτό.

Η γραφική αυτή παράσταση, όπως φαίνεται αρχικά, αναφέρεται σε ένα σύστημα το οποίο δεν είναι ορθοκανονικό.
Και όμως παρόλη την πρώτη αυτή εντύπωση, η αναφορά του γραφήματος γίνεται σε ορθοκανονικό σύστημα!

Τα σημερινά λογισμικά έχουν τη δυνατότητα αυτή να "μετασχηματίζουν" την εικόνα αλλάζοντας στη σχέση των μηκών
των μοναδιαίων διανυσμάτων για λόγους πρακτικούς. Πολλές φορές το σχήμα "αποσυμπιέζεται" και φανερώνεται
καλύτερα στον ερευνητή του θέματος χωρίς αυτό να σημαίνει ότι το πρόγραμμα έχει αλλάξει το σύστημα αναφοράς.
Για παράδειγμα αν έχουμε έναν κύκλο και "συμπιέσουμε" ή "διαστείλουμε" τη μια μονάδα σε σχέση με την άλλη τότε
ο κύκλος θα φανεί ως έλλειψη. Αν όμως τότε μετρήσουμε την απόσταση ενός σημείου του κύκλου από το κέντρο του θα
δούμε ότι διατηρεί την αρχική του ιδιότητα του κύκλου και όχι της έλλειψης!

Παραθέτω δυο σχήματα από το geogebra για του λόγου το αληθές!

: Graf.parast 1.png (24.94 KiB) Προβλήθηκε 2245 φορές

Στο σχήμα αυτό το σύστημε είναι ορθοκανονικό και φαίνεται.

: Graf.parast 2.png (26.75 KiB) Προβλήθηκε 2245 φορές

Το σύστημα αυτό φαίνεται ότι δεν είναι ορθοκανονικό και όμως είναι!

Βέβαια στην περίπτωση αυτή δεν υπήρχε κανένας λόγος να "διαστείλουμε" έτσι το σχήμα. Νομίζω
ότι το πρώτο μου σχήμα δεν έχει ανάγκη για αλλαγή τέτοια.
Αν όμως είχαμε άλλα δεδομένα, όπως παλιά όταν παρουσίαζα τα στατιστικά του Covid, τότε η αλλαγή αυτή μας
έλυνε τα χέρια, γιατί στον άξονα των τετμημένων είχαμε μονάδες και στον άξονα των τεταγμένων
χιλιάδες!

Κώστας Δόρτσιος

mathematica.gr

Γραφική παράσταση

Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση

Re: Γραφική παράσταση