mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 24, 2010 12:16 pm**

Να αποδειχτεί ότι:
${tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}-2sin36^{o}}{2sin18^{o}} \right)= 42^{o}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 24, 2010 1:29 pm**

Μερικα σκεψεις για το θεμα (χρησιμες για λυση) :

Εχω tan^(-1)(A)=42 => A=tan(42) .Τωρα tan(42)=tan(72-30)=tan(72)-tan(30)/1+tan(72)*tan(30).

Aλλα tan(72)=ctg(18) (ctg=σφ).

Επισης cos(36)=(1+ριζα(5))/4 , sin(36)=2cos(18)sin(18) , cos(36)=2cos^2(18)-1 , sin^2(18)+cos^2(18)=1

Πραξεις ,πραξεις...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 24, 2010 1:47 pm**

rek2 έγραψε:Να αποδειχτεί ότι:
${tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}-2sin36^{o}}{2sin18^{o}} \right)= 42^{o}$

αυτό κάπου το συνάντησα όταν κοίταζα Βρείτε τη γωνία χ(7),(χμ.. ξέχασα και βαρέθηκα με τόσες πράξεις να τη συνεχίσω)

(άρα η γωνία χ που ζητούσε ο Μιχάλης είναι 42 μοίρες)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 24, 2010 7:40 pm**

Mία λύση στην οποία χρησιμοποιούμε μόνο τριγωνομετρικούς αριθμούς βασικών γωνιών.

$\frac{\sqrt{3}-2 \sin 36^{0}}{2 \sin 18^{0}}=\frac{\sin 60^{0}-\sin 36^{0}}{\sin 18^{0}}=\frac{2 \sin 12^{0} \cos 48^{0}}{\sin 18^{0}}=\frac{2 \sin 12^{0} \sin 42^{0}}{\sin 18^{0}}$ Απομένει λοιπόν να αποδείξουμε ότι

$\frac{2 \sin 12^{0} }{\sin 18^{0}}=\frac{1}{\cos 42^{0}}$ δηλαδή ότι

$2 \sin 12^{0} \cos 42^{0} =\sin 18^{0}$ ή ισοδύναμα ότι

$\sin 54^{0}-\sin 30^{0}=\sin 18^{0}$

$\sin 54^{0}-\sin 18^{0}=\sin 30^{0}$

Έχουμε

$\sin 54^{0}-\sin 18^{0}=\sin (3 \cdot 18^{0})-\sin 18^{0}=2 \sin 18^{0}-4 \sin^{3}18^{0}=2 \sin 18^{0}(1-2\sin^{2}18^{0})=2\sin 18^{0}\cos 36^{0}=\frac{2\sin 18^{0}\cos 18^{0}\cos 36^{0}}{\cos 18^{0}}=\frac{\sin 36^{0}\cos 36^{0}}{\cos 18^{0}}=\frac{\sin 72^{0}}{2\cos 18^{0}}=\frac{1}{2}=\sin 30^{0}.$

mathematica.gr

tan42

tan42

Re: tan42

Re: tan42

Re: tan42