mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2023 5:16 pm**

Αν $\displaystyle{a,b}$ είναι φυσικοί αριθμοί με $\displaystyle{4b-5a=1}$ και $\displaystyle{c}$ είναι άρτιος θετικός ακέραιος , να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=5a^3 +26b +11^c}$ , διαιρείται με το $\displaystyle{30}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 11, 2023 7:27 pm**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Σάβ Φεβ 11, 2023 5:16 pm Αν $\displaystyle{a,b}$ είναι φυσικοί αριθμοί με $\displaystyle{4b-5a=1}$ και $\displaystyle{c}$ είναι άρτιος θετικός ακέραιος , να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=5a^3 +26b +11^c}$ , διαιρείται με το $\displaystyle{30}$

H παράσταση, με c=2d

, ισούται με

$5a^3 -4b+30b +11^{2d}= 5a^3 -5a-1+30b +11^{2d}= 5a(a^2-1)+30b +(121^d-1)=$

$=5(a-1)a(a+1)+30b +(121-1)(121^{d-1}+...+1)$

Αλλά το

είναι άρτιο και πολλαπλάσιο του

ως γινόμενο τριών διαδοχικών. Άρα είναι πολλαπλάσιο του

.

Τώρα εύκολα βλέπουμε ότι ο κάθε προσθετέος είναι πολλαπλάσιο του

(ο τελευταίος είναι μάλιστα του 120

), άρα όλο το άθροισμα είναι πολλλαπλάσιο του

. Όπως θέλαμε.

mathematica.gr

Διαιρείται με το 30

Διαιρείται με το 30

Re: Διαιρείται με το 30