mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 18, 2023 3:06 pm**

: 2023.02.17.FB11746 mathematica.jpg (38.61 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

Έστω συνευθειακά σημεία A, B, C

.
Με διαμέτρους AB=2R, BC=2r, AC

κατασκευάζουμε ημικύκλια (στο ίδιο ημιεπίπεδο)
Το κοινό εφαπτόμενο τμήμα

προεκτεινόμενο τέμνει το ημικύκλιο

στα σημεία S, T

(όπως στο σχήμα)
Ας είναι (AS, SP, QT, TC)=(a, c, d, b)

και

i. δείξτε οτι ο λόγος $\dfrac{ab}{cd}$ είναι συνάρτηση του

ii. βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 19, 2023 1:07 am**

: el logos.png (73.37 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

Με τη βοήθεια της δύναμης του σημείου

στο ημικύκλιο

και του

στο ημικύκλιο

, καθώς και τις αναλογίες που προκύπτουν από τις παράλληλες του παραπάνω σχήματος έχουμε:

$\displaystyle{ xa=c^2}$ , $\displaystyle{ yb=d^2}$ ,

$\displaystyle{ \frac{x}{a}=\frac{r}{R+r}}$ και

$\displaystyle{ \frac{y}{b}=\frac{R}{R+r}}$

Εύκολα, από τις παραπάνω, προκύπτει ότι: $\displaystyle{ \frac{ab}{cd}=\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k}}\geq2 }$ για $\displaystyle{ k=1}$